Clausius-Mossotti-Gleichung

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Die Clausius-Mossotti-Gleichung verknüpft die makroskopisch messbare Größe Permittivitätszahl $ \varepsilon_r $ mit der mikroskopischen (molekularen) Größe elektrische Polarisierbarkeit $ \alpha $. Sie ist benannt nach den beiden Physikern Rudolf Clausius und Ottaviano Fabrizio Mossotti und lautet:

$ P_m = \frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r+2} \frac{M_m}{\rho} = \frac{N_A}{3 \varepsilon_0} \alpha $

Die Gleichung gilt für unpolare Stoffe ohne permanentes Dipolmoment, d. h. es gibt nur induzierte Dipole (Verschiebungspolarisation). Für Stoffe mit permanenten Dipolen wird die Debye-Gleichung verwendet, die neben der Verschiebungspolarisation auch die Orientierungspolarisation berücksichtigt.

$ P_m $ ist die molare Polarisation (ihre Einheit ist die eines molaren Volumens, also z. B. m3/mol), $ M_m $ ist die molare Masse (kg/mol), $ \rho $ ist die Dichte (kg/m3) und $ N_A $ ist die Avogadrokonstante.

Herleitung

Die makroskopische Polarisation $ \vec P $ ist die Summe aller induzierten Dipole $ \vec{p}_{\text{ind}} $ geteilt durch das betrachtete Volumen (die Polarisation entspricht einer Dipoldichte):

$ \vec{P}=N\vec{p}_{\text{ind}}=N\alpha \vec{E}_{\text{lokal}} $

wobei $ N $ die Teilchenzahldichte, $ \alpha $ Polarisierbarkeit, $ \vec{E}_{\text{lokal}} $ lokale elektrische Feldstärke am Ort des Atoms/Moleküls.

Die makroskopisch messbaren Größen elektrische Suszeptibilität $ \chi $ bzw. die Dielektrizitätskonstante $ \varepsilon_r $ stellen den Zusammenhang zwischen der Polarisation und dem E-Feld her:

$ \vec{P}=\chi \varepsilon _{0}\vec{E}=\left( \varepsilon_r -1 \right)\varepsilon _{0}\vec{E} $

Man erhält durch Gleichsetzen folgende Gleichung:

$ \left( \varepsilon_r -1 \right)\varepsilon _{0}\vec{E}=N\alpha \vec{E}_{\text{lokal}} $

Um weiterführende Aussagen machen zu können, muss das lokale Feld bestimmt werden.

Nebenbemerkung: Für verdünnte Gase beeinflussen sich die induzierten Dipole nicht, das lokale Feld ist gleich dem angelegten äußeren Feld  $ \vec{E}_{\text{lokal}}=\vec{E} $  und daraus:

$ \left( \varepsilon_r -1 \right)=\frac{N}{\varepsilon _{0}}\alpha $

Für ein Dielektrikum höherer Dichte ist das lokale Feld ungleich dem angelegten äußeren Feld, da in der Nähe befindliche induzierte Dipole auch ein elektrisches Feld aufbauen.

$ \vec{E}_{\text{lokal}}=\vec{E}+\vec{E}_{\text{L}} $
$ \vec{E} $: von außen angelegtes elektrisches Feld + auf Dielektrikum-Oberfläche erzeugtes Polarisationsfeld (Entelektrisierungsfeld),
$ \vec{E}_{\text{L}}=\vec{P}/(3\varepsilon_0) $: Feld der Polarisationsladungen auf der Oberfläche einer fiktiven Kugel um das betrachtete Molekül (Lorentzfeld)

Dies ergibt ein lokales E-Feld von:

$ \vec{E}_{\text{lokal}}=\vec{E}+\frac{1}{3\varepsilon _{0}}\vec{P}=\vec{E}+\frac{\left( \varepsilon_r -1 \right)\varepsilon _{0}}{3\varepsilon _{0}}\vec{E}= \frac{\varepsilon_r +2}{3} \vec{E} $

Eingesetzt in obige Gleichung:

$ \left( \varepsilon_r -1 \right)\varepsilon _{0}\vec{E}=N\alpha \frac{\varepsilon_r +2}{3} \vec{E} $

Umstellen liefert:

$ \frac{\varepsilon_r -1}{\varepsilon_r +2}=\frac{N\alpha }{3\varepsilon _{0}} $

Bzw. nach $ \varepsilon_r $ aufgelöst:

$ \varepsilon _{r}=1+\chi _{e}=1+\frac{3N\alpha }{3\varepsilon _{0}-N\alpha } $

Nun kann man noch die Teilchendichte $ N $ durch makroskopisch messbare Größen ausdrücken (Dichte $ \rho $, molare Masse $ M_m $ und Avogadrokonstante $ N_A $):

$ N=\frac{N_{A}\rho }{M_{m}} $

Einsetzen liefert die Clausius-Mossotti-Gleichung:

$ \frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r+2} \frac{M_m}{\rho} = \frac{N_A}{3 \varepsilon_0} \alpha $

Bzw. nach $ \varepsilon_r $ aufgelöst:

$ \varepsilon_{r}=1+\chi _{e}=1+\frac{3N_{A}\rho \alpha }{3M_{m}\varepsilon _{0}-N_{A}\rho \alpha } $

Literatur

  •  Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Lectures on Physics, Volume II. Definitive Edition Auflage. Addison-Wesley, 2005, ISBN 0-8053-9047-2.

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