Clausius-Mossotti-Gleichung

Die Clausius-Mossotti-Gleichung verknüpft die makroskopisch messbare Größe Permittivitätszahl ${\epsilon }_r$ mit der mikroskopischen (molekularen) Größe elektrische Polarisierbarkeit $\alpha$. Sie ist benannt nach den beiden Physikern Rudolf Clausius und Ottaviano Fabrizio Mossotti und lautet:

$P_m=\frac{{\epsilon }_r-1}{{\epsilon }_r+2}\frac{M_m}{\rho }=\frac{N_A}{3{\epsilon }_0}\alpha$

Die Gleichung gilt für unpolare Stoffe ohne permanentes Dipolmoment, d. h. es gibt nur induzierte Dipole (Verschiebungspolarisation). Für Stoffe mit permanenten Dipolen wird die Debye-Gleichung verwendet, die neben der Verschiebungspolarisation auch die Orientierungspolarisation berücksichtigt.

$P_m$ ist die molare Polarisation (ihre Einheit ist die eines molaren Volumens, also z. B. m³/mol), $M_m$ ist die molare Masse (kg/mol), $\rho$ ist die Dichte (kg/m³) und $N_A$ ist die Avogadrokonstante.

Herleitung

Die makroskopische Polarisation $\overrightarrow{P}$ ist die Summe aller induzierten Dipole ${\overrightarrow{p}}_{\text{ind}}$ geteilt durch das betrachtete Volumen (die Polarisation entspricht einer Dipoldichte):

$\overrightarrow{P}=N{\overrightarrow{p}}_{\text{ind}}=N\alpha {\overrightarrow{E}}_{\text{lokal}}$

wobei $N$ die Teilchenzahldichte, $\alpha$ Polarisierbarkeit, ${\overrightarrow{E}}_{\text{lokal}}$ lokale elektrische Feldstärke am Ort des Atoms/Moleküls.

Die makroskopisch messbaren Größen elektrische Suszeptibilität $\chi$ bzw. die Dielektrizitätskonstante ${\epsilon }_r$ stellen den Zusammenhang zwischen der Polarisation und dem E-Feld her:

$\overrightarrow{P}=\chi {\epsilon }_0\overrightarrow{E}=({\epsilon }_r-1){\epsilon }_0\overrightarrow{E}$

Man erhält durch Gleichsetzen folgende Gleichung:

$({\epsilon }_r-1){\epsilon }_0\overrightarrow{E}=N\alpha {\overrightarrow{E}}_{\text{lokal}}$

Um weiterführende Aussagen machen zu können, muss das lokale Feld bestimmt werden.

Nebenbemerkung: Für verdünnte Gase beeinflussen sich die induzierten Dipole nicht, das lokale Feld ist gleich dem angelegten äußeren Feld  ${\overrightarrow{E}}_{\text{lokal}}=\overrightarrow{E}$  und daraus:

$({\epsilon }_r-1)=\frac{N}{{\epsilon }_0}\alpha$

Für ein Dielektrikum höherer Dichte ist das lokale Feld ungleich dem angelegten äußeren Feld, da in der Nähe befindliche induzierte Dipole auch ein elektrisches Feld aufbauen.

${\overrightarrow{E}}_{\text{lokal}}=\overrightarrow{E}+{\overrightarrow{E}}_{\text{L}}$

$\overrightarrow{E}$: von außen angelegtes elektrisches Feld + auf Dielektrikum-Oberfläche erzeugtes Polarisationsfeld (Entelektrisierungsfeld),

${\overrightarrow{E}}_{\text{L}}=\overrightarrow{P}/(3{\epsilon }_0)$: Feld der Polarisationsladungen auf der Oberfläche einer fiktiven Kugel um das betrachtete Molekül (Lorentzfeld)

Dies ergibt ein lokales E-Feld von:

${\overrightarrow{E}}_{\text{lokal}}=\overrightarrow{E}+\frac{1}{3{\epsilon }_0}\overrightarrow{P}=\overrightarrow{E}+\frac{({\epsilon }_r-1){\epsilon }_0}{3{\epsilon }_0}\overrightarrow{E}=\frac{{\epsilon }_r+2}{3}\overrightarrow{E}$

Eingesetzt in obige Gleichung:

$({\epsilon }_r-1){\epsilon }_0\overrightarrow{E}=N\alpha \frac{{\epsilon }_r+2}{3}\overrightarrow{E}$

Umstellen liefert:

$\frac{{\epsilon }_r-1}{{\epsilon }_r+2}=\frac{N\alpha }{3{\epsilon }_0}$

Bzw. nach ${\epsilon }_r$ aufgelöst:

${\epsilon }_r=1+{\chi }_e=1+\frac{3N\alpha }{3{\epsilon }_0-N\alpha }$

Nun kann man noch die Teilchendichte $N$ durch makroskopisch messbare Größen ausdrücken (Dichte $\rho$, molare Masse $M_m$ und Avogadrokonstante $N_A$):

$N=\frac{N_A\rho }{M_m}$

Einsetzen liefert die Clausius-Mossotti-Gleichung:

$\frac{{\epsilon }_r-1}{{\epsilon }_r+2}\frac{M_m}{\rho }=\frac{N_A}{3{\epsilon }_0}\alpha$

Bzw. nach ${\epsilon }_r$ aufgelöst:

${\epsilon }_r=1+{\chi }_e=1+\frac{3N_A\rho \alpha }{3M_m{\epsilon }_0-N_A\rho \alpha }$

Literatur

•  Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Lectures on Physics, Volume II. Definitive Edition Auflage. Addison-Wesley, 2005, ISBN 0-8053-9047-2.