Clausius-Mossotti-Gleichung

Die Clausius-Mossotti-Gleichung verknüpft die makroskopisch messbare Größe Permittivitätszahl $ \varepsilon _{r} $ mit der mikroskopischen (molekularen) Größe elektrische Polarisierbarkeit $ \alpha $. Sie ist benannt nach den beiden Physikern Rudolf Clausius und Ottaviano Fabrizio Mossotti und lautet:

$ P_{m}={\frac {\varepsilon _{r}-1}{\varepsilon _{r}+2}}{\frac {M_{m}}{\rho }}={\frac {N_{A}}{3\varepsilon _{0}}}\alpha $

Die Gleichung gilt für unpolare Stoffe ohne permanentes Dipolmoment, d. h. es gibt nur induzierte Dipole (Verschiebungspolarisation). Für Stoffe mit permanenten Dipolen wird die Debye-Gleichung verwendet, die neben der Verschiebungspolarisation auch die Orientierungspolarisation berücksichtigt.

$ P_{m} $ ist die molare Polarisation (ihre Einheit ist die eines molaren Volumens, also z. B. m³/mol), $ M_{m} $ ist die molare Masse (kg/mol), $ \rho $ ist die Dichte (kg/m³) und $ N_{A} $ ist die Avogadrokonstante.

Herleitung

Die makroskopische Polarisation $ {\vec {P}} $ ist die Summe aller induzierten Dipole $ {\vec {p}}_{\text{ind}} $ geteilt durch das betrachtete Volumen (die Polarisation entspricht einer Dipoldichte):

$ {\vec {P}}=N{\vec {p}}_{\text{ind}}=N\alpha {\vec {E}}_{\text{lokal}} $

wobei $ N $ die Teilchenzahldichte, $ \alpha $ Polarisierbarkeit, $ {\vec {E}}_{\text{lokal}} $ lokale elektrische Feldstärke am Ort des Atoms/Moleküls.

Die makroskopisch messbaren Größen elektrische Suszeptibilität $ \chi $ bzw. die Dielektrizitätskonstante $ \varepsilon _{r} $ stellen den Zusammenhang zwischen der Polarisation und dem E-Feld her:

$ {\vec {P}}=\chi \varepsilon _{0}{\vec {E}}=\left(\varepsilon _{r}-1\right)\varepsilon _{0}{\vec {E}} $

Man erhält durch Gleichsetzen folgende Gleichung:

$ \left(\varepsilon _{r}-1\right)\varepsilon _{0}{\vec {E}}=N\alpha {\vec {E}}_{\text{lokal}} $

Um weiterführende Aussagen machen zu können, muss das lokale Feld bestimmt werden.

Nebenbemerkung: Für verdünnte Gase beeinflussen sich die induzierten Dipole nicht, das lokale Feld ist gleich dem angelegten äußeren Feld $ {\vec {E}}_{\text{lokal}}={\vec {E}} $ und daraus:

$ \left(\varepsilon _{r}-1\right)={\frac {N}{\varepsilon _{0}}}\alpha $

Für ein Dielektrikum höherer Dichte ist das lokale Feld ungleich dem angelegten äußeren Feld, da in der Nähe befindliche induzierte Dipole auch ein elektrisches Feld aufbauen.

$ {\vec {E}}_{\text{lokal}}={\vec {E}}+{\vec {E}}_{\text{L}} $

$ {\vec {E}} $: von außen angelegtes elektrisches Feld + auf Dielektrikum-Oberfläche erzeugtes Polarisationsfeld (Entelektrisierungsfeld),

$ {\vec {E}}_{\text{L}}={\vec {P}}/(3\varepsilon _{0}) $: Feld der Polarisationsladungen auf der Oberfläche einer fiktiven Kugel um das betrachtete Molekül (Lorentzfeld)

Dies ergibt ein lokales E-Feld von:

$ {\vec {E}}_{\text{lokal}}={\vec {E}}+{\frac {1}{3\varepsilon _{0}}}{\vec {P}}={\vec {E}}+{\frac {\left(\varepsilon _{r}-1\right)\varepsilon _{0}}{3\varepsilon _{0}}}{\vec {E}}={\frac {\varepsilon _{r}+2}{3}}{\vec {E}} $

Eingesetzt in obige Gleichung:

$ \left(\varepsilon _{r}-1\right)\varepsilon _{0}{\vec {E}}=N\alpha {\frac {\varepsilon _{r}+2}{3}}{\vec {E}} $

Umstellen liefert:

$ {\frac {\varepsilon _{r}-1}{\varepsilon _{r}+2}}={\frac {N\alpha }{3\varepsilon _{0}}} $

Bzw. nach $ \varepsilon _{r} $ aufgelöst:

$ \varepsilon _{r}=1+\chi _{e}=1+{\frac {3N\alpha }{3\varepsilon _{0}-N\alpha }} $

Nun kann man noch die Teilchendichte $ N $ durch makroskopisch messbare Größen ausdrücken (Dichte $ \rho $, molare Masse $ M_{m} $ und Avogadrokonstante $ N_{A} $):

$ N={\frac {N_{A}\rho }{M_{m}}} $

Einsetzen liefert die Clausius-Mossotti-Gleichung:

$ {\frac {\varepsilon _{r}-1}{\varepsilon _{r}+2}}{\frac {M_{m}}{\rho }}={\frac {N_{A}}{3\varepsilon _{0}}}\alpha $

Bzw. nach $ \varepsilon _{r} $ aufgelöst:

$ \varepsilon _{r}=1+\chi _{e}=1+{\frac {3N_{A}\rho \alpha }{3M_{m}\varepsilon _{0}-N_{A}\rho \alpha }} $

Literatur

• Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Lectures on Physics, Volume II. Definitive Edition Auflage. Addison-Wesley, 2005, ISBN 0-8053-9047-2.