Clausius-Clapeyron-Gleichung


Clausius-Clapeyron-Gleichung

Die Clausius-Clapeyron-Gleichung wurde 1834 von Benoit Clapeyron entwickelt und später von Rudolf Clausius aus den Theorien der Thermodynamik abgeleitet. Sie ist eine Spezialform der Clapeyron-Gleichung (Herleitung dort).

Über sie lässt sich der Verlauf der Phasengrenzlinie eines Phasendiagramms zwischen der flüssigen und der gasförmigen Phase eines Stoffes, der Siedepunktskurve, errechnen. Die thermodynamisch korrekte Version der Gleichung ist

$ \frac{\mathrm dp}{\mathrm dT} = \frac{\Delta H_v}{\Delta V_v \cdot T}. $

Dabei ist $ \Delta H_v $ die Enthalpieänderung, $ p $ der Dampfdruck, $ T $ die Temperatur und $ \Delta V_v $ die molare Volumenänderung.

Allerdings bezeichnet man im Regelfall die näherungsweise gültige Gleichung

$ \frac{1}{p}dp = \frac{\Delta H_v}{RT^2}dT $

als Clausius-Clapeyron-Gleichung. Hier wurde die Volumendifferenz $ \Delta V_v \approx V_{m(g)} $ durch das Gasvolumen ausgedrückt, da bei den meisten Verwendungszwecken das flüssige molare Volumen deutlich kleiner als das des Gases ist. Außerdem wurde für die gasförmige Phase ein ideales Gas angenommen, für das folgende Zustandsgleichung gilt:

$ V_{m(g)} = \frac{RT}{p} $

Hierbei steht $ V_{m(g)} $ für das molare Volumen und $ R $ für die universelle Gaskonstante.

Betrachtet man über einen kleinen Temperaturbereich die Verdampfungsenthalpie eines Stoffes als konstant, so kann die Gleichung integriert werden. Damit gilt dann für den Sättigungsdampfdruck $ p_2 $ einer Flüssigkeit bei einer Temperatur $ T_2 $ mit dem bekannten Sättigungsdampfdruck $ p_1 $ bei einer Temperatur $ T_1 $:

$ \ln \frac{p_2}{p_1} = \frac {\Delta H_v } {R } \cdot \frac{ T_2 - T_1 } { T_1 \cdot T_2 } = \frac {\Delta H_v } {R } \cdot \left(\frac{ 1 }{ T_1} - \frac{1}{T_2} \right) $

mit

  • der Temperatur $ T_1 $ und dem Dampfdruck $ p_1 $ des Ausgangszustands,
  • der Temperatur $ T_2 $ und dem Druck $ p_2 $ des zu berechnenden Zustands,
  • der molaren Verdampfungswärme $ \Delta H_\mathrm{v} $
  • und der universellen Gaskonstante $ R=8,314\;\mathrm{J\, mol^{-1}\, K^{-1}}. $

Literatur

  • M.K. Yau, R.R. Rogers: Short Course in Cloud Physics, Third Edition, Butterworth-Heinemann, Januar 1989, 304 Seiten. ISBN 0-7506-3215-1.
  • Gerd Wedler: Lehrbuch der Physikalischen Chemie: Fünfte, vollständig überarbeitete und aktualisierte Auflage, Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, August 2004, 1102 Seiten. ISBN 3527310665