Clapeyron-Gleichung

Mit der Clapeyron-Gleichung, die Benoît Clapeyron 1834 entwickelte, erhält man die Steigung von Phasengrenzlinien in einem Phasendiagramm. Sie lässt sich für verschiedene Fälle spezifizieren. Aus der Clapeyron-Gleichung wurde auch die Clausius-Clapeyron-Gleichung entwickelt. Die Clapeyron-Gleichung lautet:

$ \frac{ \mathrm{d} p } { \mathrm{d} T } = \frac{ \Delta S_m } { \Delta V_m} $

Herleitung

An einer Phasengrenzlinie, d.h. bei dem Wertepaar aus Temperatur T und Druck p, in dem zwei Phasen $ \alpha $ und $ \beta $ im Gleichgewicht koexistieren, besitzen diese beiden Phasen die gleichen chemischen Potentiale, es gilt:

$ (1): \qquad \mu_{ \alpha}\left( p,T \right)=\mu_{ \beta}\left( p,T \right) $

Um nun die Steigung der Phasengrenzlinien bestimmen zu können, gilt es die Funktion $ dp/dT $ zu finden, die diese beschreibt. Da auf der gesamten Phasengrenzlinie gilt, dass auch bei infinitesimalen Veränderungen von p oder T die Gleichung 1 gilt, muss auch die Veränderung der Potentiale $ \mu_{\alpha} $ und $ \mu_{\beta} $ immer gleich bleiben. Mathematisch bedeutet das:

$ (2): \qquad d\mu_{\alpha}=d\mu_{\beta} $

Aus der Gibbs-Duhem-Gleichung ist bekannt, dass

$ (3): \qquad \mathrm {d}\mu = -S_m \mathrm {d}T + V_m \mathrm {d}p $

wobei $ S_m $ und $ V_m $ die molare Entropie bzw. das molare Volumen sind. Setzt man nun dies in Gleichung 2 ein, so erhält man

$ (4): \qquad -S_{\alpha,m} \mathrm {d}T + V_{\alpha,m} \mathrm {d}p = -S_{\beta,m} \mathrm {d}T + V_{\beta,m} \mathrm {d}p $

Durch Ausklammern von dp und dT sowie anschließender Umformung erhält man nun die Clapeyron-Gleichung:

$ (5): \qquad \frac{ \mathrm{d} p } { \mathrm{d} T } = \frac{ \Delta S_m } { \Delta V_m} $

Wobei $ \, \Delta S_m = S_{\beta,m} - S_{\alpha,m} $ bzw. $ \, \Delta V_m = V_{\beta,m} - V_{\alpha,m} $ sind. Im Unterschied zur Clausius-Clapeyron-Gleichung gilt die Clapeyron-Gleichung für jedes Phasengleichgewicht, d.h. auch z.B. zwischen zwei festen Phasen, eines reinen Stoffes.

Für reversible Vorgänge kann die Umwandlungsentropie aus der dabei umgesetzten Wärmemenge Qrev berechnet werden, die bei isobaren Vorgängen gleich der Änderung der molaren Enthalpie $ \,H $ ist:

$ (6): \qquad \Delta S_m = \frac{Q_{rev}}{T} = \frac{\Delta H}{T} $

Damit erhält man aus der Clapeyron-Gleichung die Clausius-Clapeyron-Gleichung.

Die Clapeyron-Gleichung gilt für alle Phasenübergänge. Insbesondere werden die folgenden Phasengrenzlinien durch sie bestimmt:

$ \qquad \frac{ \mathrm{d} \ln p } { \mathrm{d} T } \approx \frac{ \Delta_{ \mathrm{Sub} } H } {R T^2} $

Diese Artikel könnten dir auch gefallen

Die letzten News aus den Naturwissenschaften

12.01.2021
Quantenoptik
Schnellere und stabilere Quantenkommunikation
Einer internationalen Forschungsgruppe ist es gelungen, hochdimensionale Verschränkungen in Systemen aus zwei Photonen herzustellen und zu überprüfen.
11.01.2021
Quantenoptik - Teilchenphysik
Elektrisch schaltbares Qubit ermöglicht Wechsel zwischen schnellem Rechnen und Speichern
Quantencomputer benötigen zum Rechnen Qubits als elementare Bausteine, die Informationen verarbeiten und speichern.
11.01.2021
Galaxien
ALMA beobachtet, wie eine weit entfernte kollidierende Galaxie erlischt
Galaxien vergehen, wenn sie aufhören, Sterne zu bilden.
08.01.2021
Optik - Teilchenphysik
Umgekehrte Fluoreszenz
Entdeckung von Fluoreszenzmolekülen, die unter normalem Tageslicht ultraviolettes Licht aussenden.
08.01.2021
Festkörperphysik - Teilchenphysik
Weyl-Punkten auf der Spur
Ein Material, das leitet und isoliert – gibt es das? Ja, Forschende haben erstmals 2005 sogenannte topologische Isolatoren beschrieben, die im Inneren Stromdurchfluss verhindern, dafür aber an der Oberfläche äußerst leitfähig sind.
07.01.2021
Raumfahrt - Festkörperphysik - Quantenoptik
MOONRISE: Schritt für Schritt zur Siedlung aus Mondstaub
Als Bausteine sind sie noch nicht nutzbar – aber die mit dem Laser aufgeschmolzenen Bahnen sind ein erster Schritt zu 3D-gedruckten Gebäuden, Landeplätzen und Straßen aus Mondstaub.
07.01.2021
Astrophysik - Relativitätstheorie
Konstanz von Naturkonstanten in Raum und Zeit untermauert
Moderne Stringtheorien stellen die Konstanz von Naturkonstanten infrage. Vergleiche von hochgenauen Atomuhren bestätigen das jedoch nicht, obwohl die Ergebnisse früherer Experimente bis zu 20-fach verbessert werden konnten.
05.01.2021
Thermodynamik
Weder flüssig noch fest
E
05.01.2021
Quantenoptik
Mit quantenlimitierter Genauigkeit die Auflösungsgrenze überwinden
Wissenschaftlern der Universität Paderborn ist es gelungen, eine neue Methode zur Abstandsmessung für Systeme wie GPS zu entwickeln, deren Ergebnisse so präzise wie nie zuvor sind.
22.12.2020
Galaxien - Sterne
Wie sich Sterne in nahe gelegenen Galaxien bilden
Wie Sterne genau entstehen, ist nach wie vor eines der grossen Rätsel der Astrophysik.