Born-Landé-Gleichung

Die Born-Landé-Gleichung (benannt nach Max Born und Alfred Landé), auch Madelung-Gleichung (nach Erwin Madelung), ist eine Erweiterung des elektrostatischen Coulomb-Modells auf Ionenkristalle (also Salze) und erlaubt die Berechnung von Gitterenergien.

Das Coulomb-Modell geht von entgegengesetzten Punktladungen in regelmäßiger Anordnung aus, da Ionen gegen außen positiv oder negativ geladen sind. Bei genügend großer Annäherung treffen jedoch die Elektronenschalen der Ionen aufeinander, die sich aufgrund ihrer gleichen "Ladung" abstoßen. Die Größe der Abstoßung hängt von der Elektronendichte der Ionen ab und wird mit dem Born-Exponenten n gemessen. Dieser wird experimentell aus der Kompressibilität der Ionenkristalle ermittelt, zur Berechnung können aber auch Durchschnittswerte verwendet werden.

U_{0}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {N_{A}\cdot \alpha \cdot a\cdot b\cdot e^{2}}{d_{0}}}\cdot {\biggl (}1-{\frac {1}{n}}{\biggr )}

Symbol	Name	Einheit
$U_{0}$	Gitterenergie	J/mol
$N_{A}$	Avogadro-Konstante = 6,022141·10²³ mol^-1	1/mol
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha	Madelungkonstante	dimensionslos
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Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b	Anzahl Elementarladungen des Anions	dimensionslos
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Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d_0	Ionenabstand im Gleichgewicht (aus Röntgenbeugungsexperimenten oder genähert als Summe der Ionenradien)	m
$$ n $$	Born-Exponent	dimensionslos

Weitere Verfeinerungen beruhen auf Einbezug der Temperatur:

Nullpunktenergie
Umrechnung des Resultats auf Temperaturen oberhalb des absoluten Nullpunkts

Je größer der kovalente Bindungsanteil wird, desto schlechter werden die Resultate mit der Wirklichkeit übereinstimmen. Dies kommt daher, dass Modell auf der Betrachtung reiner Ionen beruht.

Siehe auch

Kapustinskii-Gleichung

Literatur

M. Born, A. Landé; Ber. Preuß. Akad. Wiss. Berlin Nr. 45, 1918, S. 1048 ff.