Sonnenstand
für alle Orte mit φ=49°Nord
parametrisiert mit wahrer Ortszeit auf Stundenlinien.
Der Sonnenstand ist die scheinbare, momentane Position der Sonne über dem Landschaftshorizont eines Standortes. Sie verändert sich laufend infolge der Erdrotation und kann durch zwei Winkel an der Himmelskugel angegeben werden: die Himmelsrichtung und die Höhe (Höhenwinkel) der Sonne.
Der tägliche Sonnenlauf hängt neben dem Standort auch von der Jahreszeit ab und wird durch 3 markante Punkte charakterisiert: Sonnenaufgang (in Mitteleuropa zwischen Nordost und Südost), mittäglicher Höchststand im Süden und Sonnenuntergang (zwischen Nordwest und Südwest). Morgens bzw. abends spricht man von tief stehender Sonne, um die Mittagszeit (insbesondere im Sommerhalbjahr) von hohem Sonnenstand. Der Unterschied zwischen Winter und Sommer prägte die Begriffe niedrige beziehungsweise hohe Sonnenbahn.
Den jahreszeitlichen Sonnenlauf bestimmt die geografische Breite des Standorts. Daraus berechnete Sonnenstandsdiagramme zeigen den Verlauf von Höhenwinkel und Horizontalwinkel (Azimut) für ein ganzes Jahr im horizontalen Koordinatensystem. Parameter hierfür sind die Tages- und die Jahreszeit. Sie sind Codierungen von Stundenwinkel und Deklination der Sonne im äquatorialen Koordinatensystem. Mit dem Breitengrad erfolgt die Umrechnung in Himmelsrichtung und Höhenwinkel.
Bei einer Sonnenuhr dienen diese Parameterlinien zum Ablesen der Tageszeit (Stundenlinien) und im eingeschränkten Maß auch der Jahreszeit (Tageslinien).
Stundenwinkel und Analemma
Bis zum Ende des Mittelalters diente der Stundenwinkel der Sonne als Maß für die Tageszeit. Er gibt die Stunden vor/nach dem örtlichen Mittag an, weshalb er diesen Namen trägt. Weil die Bewegung der Sonne im Lauf der Jahreszeiten bis zu 15 Minuten ungleichmäßig ist, wurde zur Korrektur die sogenannte Zeitgleichung eingeführt. Sie gibt an, um wie viel die wahre Sonnenzeit zu korrigieren ist, um zur gleichmäßigen mittleren Sonnenzeit[1] zu kommen. In Sonnenstandsdiagrammen wird die Zeitskala verzerrt, um bei vorgegebener mittlerer Sonnenzeit die Position der wahren Sonne ablesen zu können. Weil die Korrektur zu jeder Jahreszeit anders ist, werden die wahren Stundenlinien nicht nur verschoben, sondern durch die als Analemma bezeichneten typischen Doppelschlingen ersetzt.
Umgekehrt lässt sich aus dem Stand der Sonne die Tageszeit ablesen. Die Analemmata geben die mittlere Ortszeit oder bei Verschiebung auf den richtigen Längengrad die Zonenzeit (in Mitteleuropa MEZ) an. Das auf eine Kugeloberfläche gezeichnete Sonnenstandsdiagramm (siehe Abbildung) stellt die Situation an der Himmelskugel realistisch dar. Die Skaphe, eine antike Sonnenuhr, benutzt als Projektionsfläche ebenfalls eine Kugelfläche.
Mit dem Sonnenstandsdiagramm kann man auch die Besonnung eines Gebäudes oder die nutzbare Solarenergie eines Ortes berechnen. Während aber die theoretische Sonnenscheindauer jedes Monats nur von der geografischen Breite abhängt, unterliegt die tatsächliche Sonnenscheindauer zusätzlich meteorologischen Einflüssen (Bewölkung, Dunst) und der Höhe des Landschaftshorizonts.
Beobachtung des Sonnenstandes
Täglicher Sonnenstand (Tagbogen)
Der Tagbogen der Sonne ist der über dem Horizont verlaufende Teil ihres scheinbaren täglichen Umlaufs am Himmel. Der theoretische Tagbogen beginnt beim astronomischen Aufgang und endet beim astronomischen Untergang. Der tatsächliche Sonnenauf- bzw. Untergang findet wegen der Lichtbrechung in der Erdatmosphäre etwa 3–4 Minuten früher beziehungsweise später statt. Die Höhe des Landschaftshorizonts (Berge, Gebäude) wirkt dem entgegen - um etwa 6-8 Minuten pro Grad.
Der Tagbogen beginnt am Ost-Horizont und endet im Westen. Der Merkspruch
- Im Osten geht die Sonne auf, im Süden ist ihr Mittagslauf, im Westen wird sie untergeh'n, im Norden ist sie nie zu seh'n.
gilt für eine mittlere geografische Breite auf der Nordhalbkugel – und auch für die Südhälfte der Erde, wenn man Süden und Norden gegeneinander vertauscht. Die Auf- und Untergänge in Mitteleuropa weichen aber von Ost bzw. West je nach Jahreszeit um bis zu 45° ab.
Der Moment des Meridiandurchgangs der Sonne (annähernd ihre Kulmination) ist der Wahre Mittag, der vom Mittleren Mittag übers Jahr maximal um etwa ±15 min abweicht. Von der Zonenzeit (12 Uhr MEZ) weicht er zusätzlich um einen konstanten Wert ab, der sich aus dem geografischen Längenunterschied zum Zonenmeridian (für MEZ 15° östl.Greenwich) ergibt.
Saisoneller Sonnenstand (Änderung von Höhe und Länge des Tagesbogens)
Der Tagbogen ist im Sommer höher und länger als im Winter. Für Mitteleuropa beträgt der Unterschied etwa 16 : 8 Stunden.
Seine Mittags-Höhe beträgt zum Beispiel bei ±50° geografischer Breite zur Sommersonnenwende 63,45° und zur Wintersonnenwende 16,55°.
Rechnung: Winkel zwischen Horizont und Pol ± Schiefe der Ekliptik; im Beispiel: 90° - 50° ± 23,44° gleich 63,44° und 16,56°.
An den Wendekreisen steht die Sonne mittags einmal pro Jahr im Zenit (90° Höhe), zwischen den Wendekreisen und am Äquator hingegen zweimal. Jenseits der Polarkreise tritt mit Mitternachtssonne und Polarnacht in alljährlichem Rhythmus der Effekt auf, dass die Sonne ein paar Wochen lang weder auf- noch untergeht. Sonnenstandsdiagramme für solche Orte erstrecken sich über 24 Stunden oder 360° Azimut.
Das Azimut α für den Ort des Sonnenauf- beziehungsweise -untergangs variiert übers Jahr relativ zum Ost- beziehungsweise Westpunkt, zum Beispiel in 50° Breite um ± 38,25° nach Nord beziehungsweise nach Süd. Die Stundenwinkel für den Moment von Sonnenauf- und untergang variieren an Orten dieser Breite mit ±31,13° um λ=-90° (Aufgang) beziehungsweise um λ=+90° (Untergang) (längster / kürzester Tag: 16 h 9 min / 7 h 51 min = 12 h ± 31,13°·4 min/°).
Auswirkungen des Sonnenstands
Natur und Mensch
Vom Sonnenstand und seiner Veränderlichkeit hängen eine Reihe wichtiger Größen ab, vor allem
- die Intensität der Sonnenstrahlung. Aus ihr ergeben sich zudem
- die Klimazone (zusammen mit den Feuchtigkeits- und Bewölkungsverhältnissen) und die Arten der Vegetation
- der Bedarf an Heizung beziehungsweise an Kühlung
- die Entstehung lokaler Winde (siehe beispielsweise Aufwind) und die Wolkenbildung, aber auch
- regionale Winde (wie Monsun) und viele Meeresströmungen
- die Entstehung von Siedlungsstrukturen, insbesondere im Gebirge.
Menschliche Kultur
Die Messung des Sonnenstandes durch Sonnenuhren ermöglicht den Menschen seit Jahrtausenden die Bestimmung der Tageszeit. Die Einteilung in Jahreszeiten korrespondiert mit der Tagesbogen-Höhe der Sonne. Die erste Bestimmung des Erddurchmessers durch Eratosthenes erfolgte durch gleichzeitige Messung des Sonnenstandes an zwei verschiedenen Punkten auf der Erdoberfläche. Die Messung des Sonnenstandes mit Hilfe einfacher Messgeräte war auch eine frühe Methode der Navigation.
Der tägliche „Weg der Sonne über den Himmel“ spielt bei verschiedenen Mythologien eine große Rolle, etwa bei Helios' „Sonnenwagen“ der griechischen Antike und in der Deutung von Sonnenauf- und Untergang. Bewohner der Nordhemisphäre sind oft, wenn sie die Südhemisphäre bereisen, erstaunt über die „Umkehrung“ der täglichen scheinbaren Sonnenbewegung „nach links“.
Berechnung des Sonnenstands
In Jahres-Diagrammen verwendete Rechenergebnisse
Einfache Sonnenstandsdiagramme sind mit der wahren Ortszeit parametrisiert. Weitere Vereinfachung ist die Annahme, dass sich die Tagesbahnen der Sonne von Jahr zu Jahr nicht ändern.
Auch beim modernen praktischen Umgang mit dem Sonnenstand werden Jahres-Sonnenstandsdiagramme verwendet. Wegen der Parametrisierung mit mittlerer Orts- beziehungsweise Zonenzeit und der Berücksichtigung einer sehr langsamen Veränderung der scheinbaren Sonnenbahn (Verschiebung des Frühlingspunktes) sind sie das Ergebnis relativ genauer Berechnungen, können allerdings die erreichte Genauigkeit wegen der Darstellungsform nicht ausnutzen. Auch in mit höherer Auflösung gezeichneten Diagrammen sind bestenfalls auf dem vierjährigen Schalt-Rhythmus beruhende kleine Unterschiede erkennbar, so dass man das aktuell gültige Diagramm viele Jahre lang wiederholt verwenden kann.
Genaue Berechnung des Sonnenstandes für einen Zeitpunkt
Die oben genannte relativ genaue Berechnung wird im Folgenden geschildert. Ihr wichtigstes Merkmal ist der Bezug auf eine gleichmäßig verlaufende Zeit, was die wahre Sonnenzeit nicht ist. Dem ungleichmäßigen Jahreslauf der Sonne, dem auch die Zeitgleichung zu Grunde liegt, wird Rechnung getragen. Von den zusätzlichen langfristigen Einflüssen wird im Unterschied zu üblichen astronomischen Berechnungen (z.B. nach der Planetentheorie VSOP87) nur die Änderung des Sonnenlaufs in Form der Verschiebung des Frühlingspunktes gegen das Perigäum der Erdbahn-Ellipse berücksichtigt.
Die folgende Rechnung unterscheidet sich nicht grundsätzlich von der für die Zeitgleichung. Sie ist in der entsprechenden Variante zur Ermittlung der Zeitgleichung auch zu finden. Auch bei der Zeitgleichung mit höherer Genauigkeit entfällt die Näherung an die Periodizität mit dem Jahr. Man erhält jeweils den Sonnenstand für einen Punkt auf einer beliebig langen Zeitachse.
Ekliptikalkoordinate der Sonne
Als Zeitvariable $ n $ wird die Anzahl der Tage seit dem Standardäquinoktium J2000.0 (1. Januar 2000, 12 Uhr TT ≈ 12 Uhr UT) verwendet (gegebenenfalls inklusive Tagesbruchteil in UT) .
Ist $ JD $ die Julianische Tageszahl des gewünschten Zeitpunkts, so gilt
$ n\,=\,JD\,-\,2451545{,}0 $.
Die Position der Sonne auf der Ekliptik wird vorerst ohne Berücksichtigung der durch die Erdbahnelliptizität verursachten Geschwindigkeitsschwankungen ermittelt. Man setzt eine mittlere Geschwindigkeit der Sonne an (360° in ca. 365,2422 Tagen) und erhält die mittlere ekliptikale Länge $ L $ der Sonne:
$ L\,=\,280{,}460^{\circ }+0{,}9856474^{\circ }\cdot n $.
Um den Einfluss der Bahnelliptizität nachträglich zu berücksichtigen und die ekliptikale Länge $ \Lambda $ zu erhalten, ist hierzu als Korrektur die so genannte Mittelpunktsgleichung zu addieren. Diese Korrektur hängt vom Winkel zwischen Sonne und Perihel ab, der so genannten Anomalie. Die Mittelpunktsgleichung erwartet als Eingabewert die (fiktive) gleichförmig anwachsende mittlere Anomalie $ g $. Diese wächst um 360° in einem anomalistischen Jahr zu etwa 365,2596 Tagen:
$ g\,=\,357{,}528^{\circ }+0{,}9856003^{\circ }\cdot n $.
Die Mittelpunktsgleichung ist eine periodische Funktion der mittleren Anomalie und kann daher in eine Fourierreihe zerlegt werden. Bei kleinen Bahnexzentrizitäten kann die Reihe nach wenigen Termen abgebrochen werden. Berücksichtigt man in der (numerischen) Exzentrizität $ e $ nur lineare und quadratische Terme, so lautet die Mittelpunktsgleichung
$ \Lambda -L\,=\,\left(2e\sin(g)+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin(2g)\right)\,\cdot \,{\frac {180^{\circ }}{\pi }} $.
Mit $ e\approx 0{,}0167 $ und Umstellung ergibt sich daraus für die ekliptikale Länge $ \Lambda $ der Sonne:
$ \Lambda \,=\,L+1{,}915^{\circ }\cdot \sin(g)+0{,}020^{\circ }\cdot \sin(2g) $.
Hinweis: Die Rechnung wird übersichtlicher, wenn man $ L $ und $ g $ durch Addition oder Subtraktion geeigneter Vielfacher von 360° in den Bereich zwischen 0° und 360° gebracht hat.
Alternativ zur Benutzung der Mittelpunktsgleichung kann die ekliptikale Länge auch mit Hilfe der Keplergleichung aus der mittleren Länge berechnet werden, was jedoch ein iteratives Lösungsverfahren erfordert.
Äquatorialkoordinaten der Sonne
Für die so berechnete, entlang der Ekliptik gezählte, ekliptikale Länge $ \Lambda $ muss nun die zugehörige entlang des Himmelsäquators gezählte Rektaszension $ \alpha $ bestimmt werden. Mit der Schiefe der Ekliptik $ \varepsilon $
$ \varepsilon \,=\,23{,}439^{\circ }-0{,}0000004^{\circ }\cdot n $
ergibt sich die Rektaszension $ \alpha $ als
$ \alpha \,=\,\arctan \left({\frac {\cos(\varepsilon )\sin(\Lambda )}{\cos(\Lambda )}}\right) $.
Hinweis: Falls der Nenner im Argument des Arcustangens einen Wert kleiner Null hat, sind 180° zum Ergebnis zu addieren, um den Winkel in den richtigen Quadranten zu bringen ($ \alpha $ muss im gleichen Quadranten liegen wie $ \Lambda $). Für eine nähere Erläuterung der Quadrantenbestimmung siehe den Artikel Positionswinkel.
Alternativ zur hier benutzten exakten Formel kann für die Berechnung von $ \alpha $ auch eine Reihenentwicklung benutzt werden, was auch bei der Zeitgleichung möglich ist.
Die senkrecht zum Himmelsäquator gezählte Deklination $ \delta $ ergibt sich als
$ \delta \,=\,\arcsin(\sin(\varepsilon )\sin(\Lambda )) $.
Horizontalkoordinaten der Sonne
Ziel der Berechnung des Sonnenstandes für einen bestimmten Zeitpunkt sind Azimut $ a $ (Himmelsrichtung) und Höhe $ h $ der Sonne. Zunächst ist aus der Rektaszension der Stundenwinkel der Sonne zu ermitteln.
Dazu bestimme man die Julianische Tageszahl $ JD_{0} $ für 0h UT des betrachteten Datums, berechne
- $ T_{0}\,=\,{\frac {JD_{0}-2451545{,}0}{36525}} $ in julianischen Jahrhunderten (zu je 36525 Tagen) ab J2000.0
und damit die mittlere Sternzeit $ \theta _{G} $ in Greenwich für den gesuchten Zeitpunkt $ T $ (Weltzeit UT, in Stunden):
- $ \theta _{G}^{h}\,=\,6{,}697376+2400{,}05134\cdot T_{0}+1{,}002738\cdot T $ in Stunden und Bruchteilen einer Stunde (sprich 17,75 für 17:45 Uhr).
- Der erste Term ist die Sternzeit von Greenwich zum Zeitpunkt J2000.0, der zweite beschreibt das tägliche Vorrücken der Sternzeit gegenüber der mittleren Sonnenzeit um knapp vier Minuten, der dritte addiert den in Sternzeit gemessenen Tagesbruchteil.
Die Sternzeit ist der Stundenwinkel des Frühlingspunktes, ausgedrückt im Zeitmaß ($ 1^{\mathrm {h} }{\hat {=}}15^{\circ } $). Ganzzahlige Vielfache von 24h können gegebenenfalls vom Ergebnis abgezogen werden. Multiplikation mit dem Umrechnungsfaktor 15 °/h liefert den Greenwich-Stundenwinkel des Frühlingspunkts im Gradmaß:
- $ \theta _{G}=\theta _{G}^{h}\cdot 15 $
Für einen Ort auf der geographischen Länge $ \lambda $ (nach Osten positiv gezählt) ist der Stundenwinkel des Frühlingspunkts
- $ \theta \,=\,\theta _{G}+\lambda $,
und Subtraktion der Rektaszension der Sonne $ \alpha $ liefert den Stundenwinkel $ \tau $ der Sonne für jenen Ort:
- $ \tau \,=\,\theta -\alpha $.
Azimut $ a $ und Höhenwinkel $ h $ ergeben mit der geographischen Breite $ \varphi $ zu
- $ a=\arctan \left({\frac {\sin(\tau )}{\cos(\tau )\sin(\varphi )-\tan(\delta )\cos(\varphi )}}\right) $
beziehungsweise zu
- $ h\,=\,\arcsin(\cos(\delta )\cos(\tau )\cos(\varphi )+\sin(\delta )\sin(\varphi )) $.
Hinweis: Falls der Nenner im Argument des Arcustangens einen Wert kleiner Null hat, sind 180° zum Ergebnis zu addieren, um den Winkel in den richtigen Quadranten zu bringen.
Das berechnete Azimut wird von Süden aus gezählt. Soll es von Norden aus gezählt werden, sind 180° zum Ergebnis zu addieren.
Korrektur der Höhe wegen Refraktion
Schließlich ist bei Bedarf noch die Refraktion (Lichtbrechung in der Atmosphäre) zu berücksichtigen, welche die Sonnenscheibe etwas höher erscheinen lässt als sie tatsächlich steht. Die mittlere Refraktion (in Bogenminuten) für ein Objekt, das sich auf der Höhe h (in Grad) befindet, lässt sich näherungsweise berechnen durch
$ R\,=\,{\frac {1{,}02}{\tan \left(h+{\frac {10{,}3}{h+5{,}11}}\right)}} $.
Die refraktionsbehaftete Höhe in Grad ist dann
$ h_{R}\,=\,h+R/60 $.
Es ist zu beachten, dass die Refraktion vom detaillierten Zustand der Atmosphäre abhängt. Die angegebene Formel nimmt einen Luftdruck von 1010 mbar und eine Temperatur von 10° C an. Hiervon abweichende Bedingungen können durch geeignete Korrekturen berücksichtigt werden, aber auch dann beschreibt die Formel nur eine mittlere Refraktion, während die tatsächlichen Werte besonders in unmittelbarer Horizontnähe je nach aktueller Temperaturschichtung unter Umständen merklich von diesem Mittel abweichen können.
Rechenbeispiel
Es ist der Sonnenstand für den 6. August 2006 um 8 Uhr MESZ ($ T $ = 6 Uhr UT) in München ($ \varphi $ = 48,1° N, $ \lambda $ = 11,6° O) zu bestimmen. Es ergeben sich
| $ JD\,=2453953{,}75 $ | $ n\,=2408{,}75\,\mathrm {d} $ | $ L\,=2654{,}638^{\circ }\,{\stackrel {\wedge }{=}}\,134{,}638^{\circ } $ |
| $ g\,=2731{,}593^{\circ }\,{\stackrel {\wedge }{=}}\,211{,}593^{\circ } $ | $ \Lambda \,=133{,}653^{\circ } $ | $ \varepsilon \,=23{,}438^{\circ } $ |
| $ \alpha \,=-43{,}881^{\circ }+180^{\circ }=136{,}119^{\circ } $ | $ \delta \,=16{,}726^{\circ } $ | $ JD_{0}\,=2453953{,}5 $ |
| $ T_{0}\,=0{,}06594113621 $ | $ \theta _{G}^{h}\,=170{,}9759^{\mathrm {h} }\,{\stackrel {\wedge }{=}}\,2{,}9759^{\mathrm {h} } $ | $ \theta \,=56{,}239^{\circ } $ |
| $ a\,=85{,}938^{\circ }+180^{\circ }=265{,}938^{\circ }\,{\stackrel {\wedge }{=}}\,-94{,}062^{\circ } $ | $ h\,=19{,}062^{\circ } $ | $ h_{R}\,=19{,}110^{\circ } $ |
Ein Astronomieprogramm (SkyMap 2.2) liefert zum Vergleich $ \alpha =136{,}123^{\circ } $, $ \delta =16{,}727^{\circ } $, $ a=-94{,}065^{\circ } $ und $ h_{R}=19{,}106^{\circ } $.
Hinweis: Die Rechnungen sind mit einer ausreichenden Stellenzahl zu führen (z.B. doppelter Genauigkeit, bei achtstelligen Taschenrechnern ist Vorsicht geboten); insbesondere für $ T_{0} $ müssen ausreichend viele Stellen berücksichtigt werden. Es ist zu beachten, dass manche Rechenprogramme und Programmiersprachen Winkelangaben im Bogenmaß und nicht in Grad erwarten; die Winkel sind dann entsprechend umzurechnen.
Genauigkeitsvergleich
Wie die nebenstehende Grafik zeigt, erreichen die hier berechneten Werte für den Sonnenstand für den Zeitraum von 1950 bis 2050 eine Genauigkeit von etwa 0,01°. Am auffälligsten ist die Abweichung bei der ekliptikalen Länge mit einer regelmäßigen Periode von 18,6 Jahren und einer Amplitude von 0,0047°; es handelt sich um die in der Rechnung nicht berücksichtigte Nutation in Länge. Zu den Rändern der Grafik hin wächst die Schwankungsbreite der Restfehler deutlich an. Dies wird durch die nicht berücksichtigte Änderung der Exzentrizität der Erdbahn verursacht, die bei der Berechnung der Koeffizienten der Mittelpunktsgleichung als konstant mit dem Wert für das Jahr 2000 angesetzt worden war. Dieser Fehler hat das anomalistische Jahr als Periode; seine Amplitude wächst in 100 Jahren um 0,0048°. Des Weiteren sind jene Bahnstörungen vernachlässigt, die sich unmittelbar auf die ekliptikale Länge auswirken; vor allem die Störungen durch Jupiter (Terme mit Amplituden 0,0019°, 0,0014°, ...), Mond (Terme mit Amplituden 0,0017°, ...), Mars (Terme mit Amplituden 0,0014°, 0,0011°, ...) und Venus (Terme mit Amplituden 0,0014°, 0,0011°, ...). Dass die ekliptikale Breite stillschweigend konstant auf Null gesetzt wurde erzeugt keinen merklichen Fehler. Die berechneten Koordinaten sowie die Vergleichsdaten gelten für einen geozentrischen Beobachter; für einen realen Beobachter auf der Erdoberfläche kann die beobachtete Sonnenposition um bis zu 0,0024° (die Sonnenparallaxe) davon abweichen.
Werden genauere Daten benötigt, können diese mit aufwendigeren Verfahren berechnet oder von einem der zahlreichen Ephemeridenserver im Web bezogen werden (siehe Weblinks).
Erläuterungen
Weblinks
Commons: Sonnenstandsdiagramme – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
- Aktuelle Grafik des Sonnenstands für beliebige Standorte in Deutschland
- Berechnung von Sonnenposition und Dämmerung
- Aktuelle Sonnenkoordinaten, Stundenwinkel und Auf-/Untergänge für beliebigen Standort
- Ephemeridenserver bei Calsky.com
- Ephemeridenserver der NASA
Bibliotheken:
Quellen
Berechnung von $ \alpha $ und $ \delta $: (AstAlm 2006), S. C24
Berechnung von $ A $ und $ h $: (Meeus 2000), Kap. 12, 13. Die hier wiedergegebene Sternzeitformel wurde wegen der geringeren Genauigkeitsansprüche gegenüber der originalen Formel vereinfacht. Der Fehler bleibt im Zeitraum von 1950 bis 2050 kleiner als 0,0001°, wächst außerhalb dieser Grenzen wegen Vernachlässigung eines quadratischen Terms aber quadratisch an. Für die vollständige Formel siehe den Artikel Sternzeit.
Refraktion: (Meeus 2000), Kap. 16
Fehlerdiskussion der vereinfachten Sonnenstandsberechnung: Nutation (Meeus 2000) Kap. 22; Störungen (vFPu 1979)
Auf- und Untergang: Definition, 16'+34': (Meeus 2000), Kap. 15
- (AstAlm 2006) The Astronomical Almanac For The Year 2006, The Stationery Office, London 2004, ISBN 0-11-887333-4
- (Meeus 2000) Jean Meeus: Astronomical Algorithms, Willmann-Bell, Richmond 2000 (2nd ed., 2nd printing), ISBN 0-943396-61-1
- (vFPu 1979) Van Flandern, T.C., Pulkkinen, K.F.: Low-Precision Formulae for Planetary Positions, ApJ Supp. 41, 391-411 (1979) (PDF)