Separabilität (Quantenmechanik)

In der Quantenmechanik bezeichnet man den Zustand eines zusammengesetzten Systems als separabel wenn er nicht verschränkt ist, das heißt, wenn er sich als Gemisch aus Produktzuständen schreiben lässt.

Separabilität für reine Zustände

Der Einfachheit halber werden im folgenden alle Räume als endlichdimensional angenommen. Zunächst betrachten wir reine Zustände.

Separabilität ist eine Eigenschaft zusammengesetzter Quantensysteme, das heißt im einfachsten („bipartiten“) Fall, eines aus den Teilsystemen 1 und 2 bestehenden Gesamtsystems 12. Die quantenmechanischen Zustandsräume der Teilsysteme seien die Hilberträume $H_{1}$ und $H_{2}$ mit den jeweiligen orthonormalen Basisvektoren ${| a_{i} ⟩}_{i = 1}^{n}$ und ${| b_{j} ⟩}_{j = 1}^{m}$ . Der Hilbertraum des zusammengesetzten Systems ist dann das Tensorprodukt

H_{12} = H_{1} \otimes H_{2},

mit der Basis ${| a_{i} ⟩ \otimes | b_{j} ⟩}$ , oder in kompakterer Notation ${| a_{i} b_{j} ⟩}$ . Jeder Vektor in $H_{12}$ (d.h., jeder reine Zustand des Systems 12) lässt sich schreiben als $| ψ ⟩ = Σ_{i, j} c_{i, j} | a_{i} ⟩ \otimes | b_{j} ⟩ = Σ_{i, j} c_{i, j} | a_{i} b_{j} ⟩$ .

Wenn sich ein reiner Zustand $| ψ ⟩ \in H_{1} \otimes H_{2}$ in der Form $| ψ ⟩ = | ψ_{1} ⟩ \otimes | ψ_{2} ⟩$ schreiben lässt (wobei $| ψ_{i} ⟩$ ein reiner Zustand des Teilsystems $i$ ist), heißt er separabel oder Produktzustand. Andernfalls nennt man den Zustand verschränkt.

Standardbeispiele für einen separablen und einen verschränkten Zustandsvektor in $H_{12} = C^{2} \otimes C^{2}$ sind

| 00 ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

bzw.

| Φ^{+} ⟩ = (| 00 ⟩ + | 11 ⟩) / \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) .

Man sieht,

dass man in einem reinen separablen Zustand jedem Teilsystem einen "eigenen" Zustand zuweisen kann.
dass sich jeder reine separable Zustand durch lokale quantenmechanisch zulässige Operationen aus jedem anderen Zustand (z.B. aus $| 00 ⟩$ ) erzeugen lässt.

Beides ist in einem verschränkten Zustand nicht möglich. Passend verallgemeinert lässt sich diese Unterscheidung auch auf den Fall gemischter Zustände übertragen.

Die vorangehende Diskussion lässt sich ohne wesentliche Änderungen auf den Fall unendlichdimensionaler Systeme verallgemeinern.

Separabilität für gemischte Zustände

Nun betrachten wir den Fall gemischter Zustände. Ein gemischter Zustand des zusammengesetzten Quantensystems 12 wird durch eine Dichtematrix $ρ$ beschrieben, die auf dem Hilbertraum $H_{12} = H_{1} \otimes H_{2}$ wirkt.

$ρ$ ist separabel wenn es $p_{k} \geq 0$ mit $p_{1} + p_{2} + . . . = 1$ und Zustände ${ρ_{1}^{k}}$ auf $H_{1}$ und ${ρ_{2}^{k}}$ auf $H_{2}$ gibt (die jeweils gemischte Zustände der Teilsysteme beschreiben), so dass

ρ = \sum_{k} p_{k} ρ_{1}^{k} \otimes ρ_{2}^{k} .

Andernfalls heißt $ρ$ verschränkt.

Die physikalische Bedeutung dieser mathematischen Definition ist, dass sich ein separabler Zustand als Gemisch von Produktzuständen $ρ_{1}^{k} \otimes ρ_{2}^{k}$ auffassen lässt.

Dies impliziert zum einen, dass ein separabler Zustand nur klassische Korrelationen zwischen den Teilsystemen beschreibt. (Denn ein Produktzustand beschreibt unabhängige (unkorrelierte) Systeme und die Korrelationen sind durch die klassische Wahrscheinlichkeitsverteilung $p_{k}$ gegeben.)
Zum anderen folgt, dass sich ein separabler Zustand mittels lokaler quantenmechanisch erlaubter Operationen und klassischer Kommunikation aus jedem anderen Zustand (z.B. aus $| 00 ⟩$ erzeugen lässt. (Mittels klassischer Kommunikation wählen beide Parteien einen Index $k$ gemäß der Wahrscheinlichkeitsverteilung $p_{k}$ aus und erzeugen dann (was jeweils lokal möglich ist) den Produktzustand $ρ_{k}^{1} \otimes ρ_{k}^{2}$ .)

Es ist nach der obigen Definition klar, dass die separablen Zustände eine konvexe Menge bilden.

Wenn die Zustandsräume unendlichdimensional sind, werden Dichtematrizen durch positive Spurklasseoperatoren mit Spur 1 ersetzt. Ein Zustand heißt dann separabel, wenn er (in der Spurnorm) durch Zustände der obigen Form beliebig genau approximiert werden kann.

Separabilität für Vielparteien-Systeme

Die vorangehende Diskussion lässt sich leicht für aus vielen Teilsystemen bestehende Quantensysteme verallgemeinern. Wenn das System aus $n$ Teilsystemen mit System-Hilbertraum $H_{i}, i = 1, . . ., n$ besteht, dann ist ein reiner Zustand auf $H_{1. . n} = H_{1} \otimes H_{2} \otimes . . . \otimes H_{n}$ genau dann separabel (genauer: vollständig separabel), wenn er von der Form

| ψ ⟩ = | ψ_{1} ⟩ \otimes \dots \otimes | ψ_{n} ⟩

ist. Analog ist ein gemischter Zustand $ρ$ auf $H_{1. . n}$ separabel, wenn er sich als konvexe Summe von Produktzuständen schreiben lässt:

ρ = \sum_{k} p_{k} ρ_{1}^{k} \otimes \dots ρ_{n}^{k}

.

Separabilitätskriterien

Ein reiner Zustand $ρ_{12}$ auf $H_{1} \otimes H_{2}$ ist genau dann separabel, wenn die Entropie der reduzierten Zustände verschwindet, das heißt, wenn $S (ρ_{1}) = 0$ oder $S (ρ_{2}) = 0$ ist (beide Gleichungen sind über die Schmidt-Zerlegung äquivalent).

Die Frage, ob ein gegebener gemischter Zustand $ρ$ separabel ist (Separabilitätsproblem), ist im Allgemeinen schwer zu beantworten (NP-Schwere^[1]). Die Unterscheidung von separablen und verschränkten Zuständen ist in der Quanteninformationstheorie von großem Interesse, da nur verschränkte Zustände Quantenkorrelationen aufweisen und eine wichtige Ressource darstellen, die Verfahren wie Quantenteleportation ermöglicht.

Ein Separabilitätskriterium ist eine (leicht überprüfbare) Bedingung, die jeder separable Zustand erfüllt (notwendige Bedingung für Separabilität). Die Verletzung einer solchen Bedingung ist dann hinreichend für den Nachweis von Verschränkung. Beispiele für solche Kriterien sind die Erfüllung der Bellschen Ungleichung oder das Peres-Horodecki-Kriterium, das besagt, dass die Dichtematrix eines separablen Zustands unter partieller Transposition^[2] positiv bleibt. Allgemeiner lässt sich formulieren, dass die Dichtematrix eines separablen Zustands unter Anwendung jeder positiven Abbildung $T$ in einem der Teilsysteme positiv bleiben muss:

(1 \otimes T) ρ \geq 0

.

Im Allgemeinen (d.h. für nicht notwendig separable Zustände) gilt dies nur für vollständig positive Abbildungen $T$ . Die Gültigkeit der obigen Ungleichung für alle positiven Abbildungen $T$ ist notwendig und hinreichend für Separabilität.^[3]

Andere Separabilitätskriterien ergeben sich aus den sogenannten Verschränktheitszeugen (entanglement witnesses) oder aus Verschränktheitsmaßen.

Literatur

Gernot Alber und M. Freyberger: Quantenkorrelationen und die Bellschen Ungleichungen, Physikalische Blätter 55, Nr. 10, 24 (1999).
Asher Peres: Quantum Theory: Concepts and Methods', Kluwer Academic, 1995.
Eckert et al.: Entanglement Properties of Composite Quantum Systems. In: Quantum Information Processing'. Th. Beth und G. Leuchs (Hrsg.), Wiley-VCH, 2003.
Jürgen Audretsch: Verschränkte Welt. Faszination der Quanten. Wiley-VCH, 2002.

↑ Gurvits J. Comput. Syst. Sci. 69, 448-484, (2004); Eprint quant-ph/0201022
↑ Als partielle Transposition einer Matrix $M$ auf $H_{1} \otimes H_{2}$ bezeichnet man die Matrix, bei der die Transposition nur bezüglich eines der beiden Teilsysteme $H_{1}, H_{2}$ gebildet wird. Seien ${e_{i}}$ und ${f_{i}}$ Orthonormalbasen von $H_{1}$ bzw. $H_{2}$ und seien $M_{i j, k l}$ die Matrixelemente in der Basis ${e_{i} \otimes f_{j}}$ , dann gilt für die bezüglich $H_{1}$ partiell transponierte Matrix $M^{T_{1}}$ , dass $(M^{T_{1}})_{i j, k l} = M_{k j, i l}$ . Die lineare Abbildung $T_{1} : M \to M^{T_{1}}$ wird oft auch als partielle Transposition bezeichnet. $T_{1}$ ist ein Beispiel für einen "positive, aber nicht vollständig positive" Abbildung. (vgl. z.B. Horodecki et al. Phys.~Lett. A 223, 1 (1996))
↑ Horodecki et al. Phys.~Lett. A 223, 1 (1996); Eprint quant-ph/9605038.

Weblinks

Siehe auch

Quantenverschränkung

[Gurv02-1] Gurvits J. Comput. Syst. Sci. 69, 448-484, (2004); Eprint quant-ph/0201022

[pT-2] Als partielle Transposition einer Matrix $M$ auf $H_{1} \otimes H_{2}$ bezeichnet man die Matrix, bei der die Transposition nur bezüglich eines der beiden Teilsysteme $H_{1}, H_{2}$ gebildet wird. Seien ${e_{i}}$ und ${f_{i}}$ Orthonormalbasen von $H_{1}$ bzw. $H_{2}$ und seien $M_{i j, k l}$ die Matrixelemente in der Basis ${e_{i} \otimes f_{j}}$ , dann gilt für die bezüglich $H_{1}$ partiell transponierte Matrix $M^{T_{1}}$ , dass $(M^{T_{1}})_{i j, k l} = M_{k j, i l}$ . Die lineare Abbildung $T_{1} : M \to M^{T_{1}}$ wird oft auch als partielle Transposition bezeichnet. $T_{1}$ ist ein Beispiel für einen "positive, aber nicht vollständig positive" Abbildung. (vgl. z.B. Horodecki et al. Phys.~Lett. A 223, 1 (1996))

[Horo96-3] Horodecki et al. Phys.~Lett. A 223, 1 (1996); Eprint quant-ph/9605038.

[1]

[2]

[3]