Bellsche Ungleichung

Die Bellsche Ungleichung ist eine Schranke an Mittelwerten von Messwerten, die 1964 von John Bell angegeben wurde. Die Ungleichung gilt in allen physikalischen Theorien, die realistisch und lokal sind und in denen man unabhängig vom zu vermessenden System zufällig wählen kann, „dieses oder jenes“ zu messen. Diese Einschränkungen besagen vereinfacht, dass es sich um eine „klassische“ Theorie wie die newtonsche Mechanik oder die maxwellsche Elektrodynamik handelt.

Demgemäß handelt es sich nicht um eine „eher unwichtige mathematische Spitzfindigkeit“, sondern um eine Relation von grundlegender Bedeutung für die Gegenüberstellung von Quantenmechanik und klassischer Physik.

Präzise:

1. Eine physikalische Theorie ist realistisch, wenn jede Messung nur eine Eigenschaft abliest, die auch ohne Messung vorliegt, wenn also der Wert jeder denkbaren Messung feststeht, selbst wenn wir ihn wegen ungenügender Kenntnis verborgener Parameter nicht vorher wissen.
2. Eine physikalische Theorie ist lokal, wenn sich bei zwei räumlich weit getrennten Teilchen die Wahl dessen, was beim einen Teilchen gemessen wird, nicht augenblicklich auf das andere Teilchen auswirkt.

Die Quantenmechanik ist keine realistische und lokale Theorie. Die in der Quantenmechanik berechneten Mittelwerte verletzen die Bellsche Ungleichung. Daher kann die Quantenmechanik nicht durch Hinzufügen von verborgenen Variablen zu einer realen und lokalen Theorie vervollständigt werden (im Gegensatz zu einer Annahme Albert Einsteins).

Bei Photonenpaaren ist die Verletzung der Bellschen Ungleichung gemessen worden. Ihre Polarisationseigenschaften stimmen mit der Quantenmechanik überein und sind nicht mit der Annahme von Realität und Lokalität verträglich.

Dies bedeutet, dass nicht alle Messwerte vor der Messung feststehen oder dass die Messwerte nichtlokal von weit entfernten, unvorhersehbaren Entscheidungen abhängen oder dass man nicht beliebig wählen kann, „dieses oder jenes“ zu messen.

Herleitung

Wir betrachten Polarisationsmessungen an Paaren von Photonen, die von einer Quelle in entgegengesetzte Richtungen emittiert werden und an zwei Orten getrennt gemessen werden.

Polarisationsfilter polarisieren Photonen in einer zur Ausbreitungsrichtung senkrechten Richtung $ \mathbf {a} \,. $ Sie lassen Photonen, die in Richtung $ \mathbf {a} $ polarisiert sind, ungehindert durch und absorbieren mit Sicherheit Photonen, deren Polarisationsrichtung senkrecht zu $ \mathbf {a} $ steht. Dabei ist $ \mathbf {a} $ ein Einheitsvektor in der Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Photons.

Dreht man den Filter in seiner Ebene, so erhält man einen Filter, der in gedrehter Richtung $ \mathbf {b} $ polarisiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon, das in Richtung $ \mathbf {a} $ polarisiert ist, ungehindert durch einen Filter geht, der in Richtung $ \mathbf {b} $ polarisiert, beträgt

$ w(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=\cos ^{2}\theta _{ab}\,. $

Mit der Restwahrscheinlichkeit $ \,1-\cos ^{2}\theta _{ab}=\sin ^{2}\theta _{ab} $ wird es absorbiert. Dabei ist $ \,\theta _{ab} $ der von $ \mathbf {a} $ und $ \mathbf {b} $ eingeschlossene Winkel.

Die Polarisation der untersuchten Photonenpaare ist wegen ihrer Herkunft nicht unabhängig, sondern verschränkt: Stimmen die Richtungen der Polarisationsfilter an beiden Messorten überein, so wird das eine Photon genau dann absorbiert, wenn auch das andere Photon absorbiert wird.

Bei Polarisationsmessungen an Photonen unterstellt die Realitätsannahme, in jedem Fall stehe für alle Richtungen fest, ob das Photon absorbiert werde, auch wenn in jedem Einzelfall der Polarisationsfilter nur in einer Richtung messen kann.

Bei den Messungen wird unterstellt, dass man die Richtung beider Polarisationsfilter beliebig wählen kann. Welche Richtung des Polarisationsfilters man wählt, hängt nicht vom jeweiligen Photonenpaar ab.

Lokalität unterstellt beim Photonenpaar, dass die Richtung des einen Polarisationsfilter sich nicht darauf auswirkt, ob das andere Photon absorbiert wird. Dies stellt man dadurch sicher, dass die Richtungen erst so spät zufällig gewählt werden, dass man von dieser Wahl selbst mit lichtschnellen Signalen bei der anderen Messung noch nichts wissen kann.

Wir betrachten eine Reihe von wiederholten Messungen an Photonenpaaren und nummerieren sie fortlaufend mit $ \,i=1,2,\ldots ,N $. Wenn bei der $ i $-ten Messung der eine Filter in Richtung $ \mathbf {a} $ polarisiert und das Photon durchkommt, schreiben wir dieses Ergebnis als $ \,a_{1i}=1 $ auf, wird es absorbiert, setzen wir $ \,a_{1i}=-1 $. Mit $ \,b_{1i} $ bezeichnen wir das Ergebnis, das sich beim Versuch Nummer $ i $ ergäbe, wenn wir am ersten Photon des Paares die Polarisation in Richtung $ \mathbf {b} $ messen würden, und mit $ \,b_{2i} $ das entsprechende Ergebnis, wenn wir am zweiten Photon des Paares die Polarisation in Richtung $ \mathbf {b} $ messen würden. Entsprechend sind $ \,c_{2i}=1 $ oder $ \,c_{2i}=-1 $, je nachdem ob das zweite Photon des Paares im Versuch mit der Nummer $ i $ durch den zweiten, in Richtung $ \mathbf {c} $ polarisierten Filter kommt oder nicht.

Da die Ergebnisse $ \,a_{1i} $, $ \,b_{2i} $ und $ \,c_{2i} $ nur die Werte 1 oder -1 haben können, gelten in allen Fällen die Ungleichungen

$ a_{1i}\,(b_{2i}-c_{2i})\leq 1-b_{2i}c_{2i}\,. $

Denn entweder ist $ \,b_{2i}=c_{2i} $, dann sind beide Seiten gleich 0, oder es gilt $ \,b_{2i}=-c_{2i} $, dann hat die rechte Seite den Wert 2 und die linke Seite den Wert 2 oder −2.

Da bei gleicher Richtung beider Filter das eine Photon genau dann absorbiert wird, wenn auch das andere Photon absorbiert wird, gilt in allen Fällen

$ \,b_{2i}=b_{1i}\,. $

In die Ungleichungen eingesetzt, ergibt sich

$ a_{1i}\,b_{2i}-a_{1i}\,c_{2i}+b_{1i}\,c_{2i}\leq 1\,. $

Der Mittelwert $ \langle a_{1}\,b_{2}\rangle $ der Produkte der Messergebnisse ist die Summe der Produkte $ a_{1i}\,b_{2i} $, geteilt durch die Anzahl der Versuche,

$ \langle a_{1}\,b_{2}\rangle ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}a_{1i}\,b_{2i}\,. $

Entsprechend erhält man die Mittelwerte der Messergebnisse $ \langle a_{1}\,c_{2}\rangle $ und $ \langle b_{1}\,c_{2}\rangle $.

Summiert man die Ungleichungen und teilt man das Ergebnis durch die Anzahl der Versuche, so erhält man die Bellsche Ungleichung^[1] für Mittelwerte von Produkten von Polarisationswerten

$ \langle a_{1}\,b_{2}\rangle -\langle a_{1}\,c_{2}\rangle +\langle b_{1}\,c_{2}\rangle \leq 1\,. $

Bei der Herleitung der Bellschen Ungleichung wurde unterstellt, dass in jedem Versuch die Ergebnisse der Polarisationsmessungen in den drei Richtungen von $ \mathbf {a} ,\,\,\mathbf {b} $ und $ \mathbf {c} $ festliegen, obwohl tatsächlich nur in jeweils einer Richtung gemessen werden kann. Wir haben auch unterstellt, dass die Ergebnisse bei einem Teilchen nicht davon abhängen, in welche Richtung am anderen Teilchen gemessen wird, dass es sich also bei den Ergebnissen am ersten Photon nicht je nach Richtung des zweiten Filters um Ergebnisse $ \,a_{1i\,b} $ oder $ \,a_{1i\,c} $ handelt. Schließlich unterstellen wir, dass der Mittelwert über alle gedachten Versuchsergebnisse mit dem Mittelwert über alle tatsächlich ausgeführten Versuche übereinstimmt und dass keine Eigenschaft des Photonenpaares die zufällige Wahl der Messrichtungen beeinträchtigt.

Quantenmechanische Mittelwerte

In der Quantenmechanik ergibt sich für den Mittelwert der Polarisationsmessungen

$ \langle {a}_{1}\,{b}_{2}\rangle =\cos(2\,\theta _{ab})\,. $

Dies folgt aus:

$ \langle {a}_{1}\,{b}_{2}\rangle =\langle {a}_{1}\,{b}_{1}\rangle \,, $

$ P({a}_{1}\ {b}_{1}=1)=\cos ^{2}\theta _{ab}\,, $

$ P({a}_{1}\ {b}_{1}=-1)=\sin ^{2}\theta _{ab}\,, $

$ \langle {a}_{1}\,{b}_{2}\rangle =(1)\cos ^{2}\theta _{ab}\ +(-1)\sin ^{2}\theta _{ab}\ =\cos(2\ \theta _{ab})\,. $

Es ist aber die Linearkombination der Mittelwerte, wie sie in der Bellschen Ungleichung vorkommt,

$ \cos(2\,\theta _{ab})-\cos(2\,\theta _{ac})+\cos(2\,\theta _{bc})\,, $

nicht für alle Richtungen kleiner als 1. Wählt man beispielsweise $ \mathbf {b} $ als Winkelhalbierende zwischen $ \mathbf {a} $ und $ \mathbf {c} \,, $ die 60 Grad einschließen,

$ \theta _{ab}=\theta _{bc}={\frac {\pi }{6}} $ und $ \theta _{ac}={\frac {\pi }{3}}, $

so ergibt sich für die Linearkombination der quantenmechanischen Mittelwerte

$ \underbrace {\cos(2\,\theta _{ab})} _{\frac {1}{2}}-\underbrace {\cos(2\,\theta _{ac})} _{-{\frac {1}{2}}}+\underbrace {\cos(2\,\theta _{bc})} _{\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}}\,, $

in deutlichem Widerspruch zur Bellschen Ungleichung für lokale, realistische Theorien.

Die quantenmechanischen Wahrscheinlichkeiten können also nicht (im Gegensatz zur Annahme Albert Einsteins) von einer vollständigeren, lokalen Theorie infolge der Unkenntnis verborgener Parameter herrühren, die den Ausgang jeder denkbaren Messung festlegen.

Experimentelle Untersuchungen

Anforderungen

Um die Verletzung der Bellschen Ungleichung überzeugend nachzuweisen, muss das Experiment folgende Anforderungen erfüllen:

1. Die Messungen an den beiden Photonen jedes Paares müssen raumzeitlich getrennt sein: es muss ausgeschlossen sein, dass die Wahl der einen Messrichtung bei der anderen Messung bekannt ist. Dies stellten Aspect und Weihs in ihren Experimenten dadurch sicher, dass die Richtungen erst so spät zufällig gewählt wurden, dass man von dieser Wahl selbst mit lichtschnellen Signalen bei der anderen Messung noch nichts wissen konnte. Es darf also kein Lokalitätsschlupfloch bezüglich unterlichtschneller oder lichtschneller Signale geben.
2. Falls es aber überlichtschnelle Signale gäbe, dann wäre denkbar, dass die Entscheidung, in welche Richtung am einen Ort die Polarisation gemessen wird, sich auf das Ergebnis am anderen Ort auswirkt und die Bellsche Ungleichung deshalb verletzt ist. Für solch ein Lokalitätsschlupfloch bzgl. überlichtschneller Signale gibt es allerdings keinen Hinweis.
3. Bei den Photonexperimenten gibt es aber noch ein drittes Problem: Jeder Photodetektor weist nur einen Bruchteil der Photonen nach (im Experiment von Weihs nur 5 Prozent). Man muss zusätzlich annehmen, dass die nicht nachgewiesenen Photonen dieselben Eigenschaften haben wie die nachgewiesenen. Das ist das sogenannte Nachweisschlupfloch. Es wird beim Experiment von Rowe geschlossen.

Widerlegungsexperimente

Seit Ende der 1960er-Jahre wurden viele Experimente durchgeführt, um die Verletzung einer Bellschen Ungleichung nachzuweisen:

• C. A. Kocher und Eugene Commins (1967) beobachteten Korrelationen in Photonenpaaren, die von angeregten Kalziumatomen ausgesandt werden.^[2]
• Stuart Freedman und John Clauser (1972) benutzten diesen Prozess, um eine erste Verletzung einer Bellschen Ungleichung zu demonstrieren.^[3]
• Aspect, Dalibard und Roger (1982) benutzten einen anderen Prozess im Kalziumatom, der höhere Zählraten und dadurch eine signifikantere Verletzung ergab. Außerdem waren beide Polarisationsfilter 12 m entfernt und die Wahl ihrer Messrichtungen erfolgte durch einen schnellen Zufallsgenerator erst nachdem beide Photonen die Quelle verlassen hatten.^[4]
• Weihs und Mitarbeiter (1998) benutzten polarisationsverschränkte Photonen, die durch spontane parametrische Fluoreszenz erzeugt worden waren. Die Polarisationsfilter waren 400 m entfernt, so dass eine Informationsübertragung über die Messrichtung wegen der endlichen Lichtgeschwindigkeit nicht möglich war.^[5]
• Rowe und Mitarbeitern (2001) gelang es, eine Verletzung der Ungleichung anhand von Messungen an Ionen in einer Falle zu demonstrieren. Dabei konnten alle Ereignisse detektiert werden (siehe: Anforderungen an das Experiment).^[6]

Das Resultat des jeweiligen Experiments - dass die Bellsche Ungleichung verletzt ist - zeigt explizit, dass die relevante Physik, die der beteiligten Quantenphänomene, nichtklassisch ist.

Folgerungen

Man kann nicht einfach die Quantenmechanik als falsch abtun. Sie stimmt mit den experimentellen Befunden überein.

Man kann stattdessen Einsteins Postulate, insbesondere die Vorstellung verborgener Variablen, aufgeben und hinnehmen, dass die Wellenfunktion nur die Wahrscheinlichkeit der Messwerte festlegt, nicht aber, welcher Messwert in jedem Einzelfall auftritt. Dies ist die Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik, die unter Physikern vorherrscht. So aufgefasst ist die Quantenmechanik nicht-real, im Gegensatz zu den Vorstellungen von Einstein, Podolski und Rosen (siehe Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon), weil eine Messung nicht einfach eine Eigenschaft abliest, sondern feststellt (präziser: herstellt), was zuvor nicht feststand. Zudem ist die Quantenmechanik auch nicht-lokal, weil sich der quantenmechanische Zustand des Photonenpaares über beide Messplätze erstreckt.

In ihrer Kopenhagener Deutung genügt die Quantenmechanik also nicht Einsteins Forderungen an eine vollständige, reale und lokale Beschreibung der Physik. Dies hatte Einstein erkannt und bemängelt. Aber er irrte in der Annahme, die Quantenmechanik könne durch Hinzufügen verborgener Variablen real und lokal werden.

Man kann die Lokalität aufgeben und an der Realität festhalten, wie beispielsweise in der bohmschen Mechanik. Bohm deutet die Wellenfunktion als nicht-lokales Führungsfeld klassischer Teilchen. Ob diese Deutung zu physikalischen Einsichten führt, ist unter Physikern strittig.

Verwandtes

Die CHSH-Ungleichung (1969 von Clauser, Horne, Shimony und Holt entwickelt^[7]) verallgemeinert die Bellsche Ungleichung auf beliebige Observable. Sie ist experimentell einfacher zu überprüfen.

D. M. Greenberger, M. A. Horne und A. Zeilinger beschrieben 1989 einen Versuchsaufbau, das GHZ-Experiment mit drei Beobachtern und drei Elektronen, um mit einer einzigen Gruppe von Messungen die Quantenmechanik von einer quasi-klassischen Theorie mit verborgenen Variablen zu unterscheiden.^[8]

Hardy untersuchte 1993 eine Situation, mit der theoretisch Nicht-Lokalität gezeigt werden kann.

Die Experimente zur Verletzung der Bellschen Ungleichung lassen offen, ob (wie in der Kopenhagener Interpretation) neben der Annahme der Lokalität auch die Annahme einer „objektiven Realität“ aufgegeben werden muss. Leggett formulierte 2003 eine Ungleichung, die unabhängig von der Annahme der Lokalität gilt und die Annahme objektiver Realität zu überprüfen erlauben soll.^[9] Aktuelle Experimente von Gröblacher et al. deuten darauf hin, dass die Leggettsche Ungleichung verletzt wird.^[10] Die Deutung der Ergebnisse ist jedoch strittig.^[11][12][13]

Sonstiges

2001 veröffentlichten Karl Hess und der Mathematiker Walter Philipp Aufsätze, in denen sie auf ein mögliches Schlupfloch im Bellschen Theorem hinwiesen.^[14] Ihr Argument und ihr Modell ist von Zeilinger und anderen kritisiert worden.^[15]

Siehe auch

• Kochen-Specker-Theorem

Literatur

• J. S. Bell: Speakable and unspeakable in quantum mechanics. Cambridge University Press, Cambridge 1988, ISBN 0-521-36869-3 (bündelt Bells Originalaufsätze).
• L. Hardy: Nonlocality for 2 particles without inequalities for almost all entangled states. In: Physical Review Letters. 71, Nr. 11, 1993, S. 1665–1668 (doi: 10.1103/PhysRevLett.71.1665 .
• A. Aspect: Bell's inequality test: more ideal than ever. In: Nature. 398, Nr. 6724, 1999, S. 189–190 (doi:10.1038/18296).
• James T. Cushing (Hrsg.): Philosophical consequences of quantum theory: reflections on Bell's theorem. Univ. of Notre Dame Press, Notre Dame, Ind. 1989, ISBN 0-268-01578-3.
• Michael Redhead: Incompleteness, nonlocality and realism a prolegomenon to the philosophy of quantum mechanics. Clarendon Pr., Oxford 1987, ISBN 0-19-824937-3.
• M. Kafatos (Hrsg.): Bell’s Theorem. Quantum Theory and Conceptions of the Universe. Kluwer, Dordrecht-Boston-London 1989, ISBN 0-7923-0496-9.
• T. Maudlin: Quantum Non-Locality and Relativity. Blackwell, Oxford U. K. and Cambridge MA, 1993, ISBN 0-631-18609-3.
• A. Peres: All the Bell inequalities. In: Foundations of Physics 29 (1999), S. 589–614, (Preprint: arXiv:quant-ph/9807017).
• A. Ekert: Feature Reality, locality and security In: Physics World September 2009, S. 29–32

Lehrbuchdarstellung

• J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. 2. Auflage, Addison-Wesley, 1993, ISBN 0-201-53929-2, S. 174–187, 223-232.

Weblinks

• Bellsche Ungleichung mit verschränkten Photonen am interaktiven Experiment. Uni Erlangen 2009.
• Thomas Hausmaninger: Polarisierte Photonen (enthält eine Gültigkeitsdiskussion der Bellschen Ungleichung.)
• Amos Drobisch: Das EPR-Gedankenexperiment, die Bellsche Ungleichung und der experimentelle Nachweis von Quantenkorrelationen, RWTH Aachen 2009
• Franz Embacher: EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung. Ms. Wien 2000.
• Norbert Dragon: Anmerkungen zur Quantenmechanik (Das Skript enthält eine ausführliche Herleitung der Bellschen Ungleichung für Spin-Messungen an Elektronpaaren).
• Eintrag In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of PhilosophyVorlage:SEP/Wartung/Parameter 1 und weder Parameter 2 noch Parameter 3
• László E. Szabó: The Einstein-Podolsky-Rosen Argument and the Bell Inequalities in der Internet Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)
• John Bell: Indeterminism and Nonlocality (Englischsprachiges Video, 1990)
• Heute messen, morgen entscheiden (pro-physik.de 1. November 2012)

Einzelnachweise