Rarita-Schwinger-Gleichung
In der theoretischen Physik ist die Rarita-Schwinger Gleichung eine relativistische Feldgleichung für Spin-3/2-Fermionen. Sie ist ähnlich aufgebaut wie die Dirac-Gleichung für Spin-1/2-Fermionen und kann aus dieser hergeleitet werden. Sie wurde erstmals 1941 von William Rarita und Julian Schwinger formuliert und veröffentlicht. In einer modernen Notation wird sie wie folgt angeschrieben[1]:
- $ \left(\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\gamma _{5}\gamma _{\nu }\partial _{\rho }+m\sigma ^{\mu \sigma }\right)\psi _{\sigma }=0 $
Dabei ist $ \epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma } $ das Levi-Civita-Symbol, $ \gamma _{5} $ und $ \gamma _{\nu } $ sind Dirac-Matrizen, $ m $ ist die Ruhemasse des Fermions, $ \sigma ^{\mu \nu }\equiv i/2\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right] $ und $ \psi _{\sigma } $ ist ein vektorwertiger Spinor mit zusätzlichen Komponenten im Vergleich zu den vier Komponenten des Spinors in der Dirac-Gleichung. Die Darstellung entspricht dabei der $ \left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)\otimes \left(\left({\tfrac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\tfrac {1}{2}}\right)\right) $, bzw. $ \left(1,{\tfrac {1}{2}}\right)\oplus \left({\tfrac {1}{2}},1\right) $ Darstellung der Lorentz-Gruppe[2].
Die Feldgleichung kann aus der folgenden Lagrange-Dichte hergeleitet werden[3]:
- $ {\mathcal {L}}=-{\tfrac {i}{2}}\;{\bar {\psi }}_{\mu }\left(\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\gamma _{5}\gamma _{\nu }\partial _{\rho }+m\sigma ^{\mu \sigma }\right)\psi _{\sigma } $
Dabei bezeichnet $ {\bar {\psi }}_{\mu } $ den adjungierten Spinor zu $ \psi _{\mu } $. Wie in der Dirac-Gleichung kann die Wechselwirkung mit einem elektromagnetischen Feld durch die minimale, eichinvariante Kopplung:
- $ \partial _{\mu }\rightarrow D_{\mu }=\partial _{\mu }-ieA_{\mu } $
berücksichtigt werden. Die Rarita-Schwinger-Gleichung hat für Teilchen mit Ruhemasse 0 eine Eichsymmetrie bezüglich der Eichtransformation $ \psi _{\mu }\rightarrow \psi _{\mu }+\partial _{\mu }\epsilon $. Dabei ist $ {\mathcal {\epsilon }} $ ein frei wählbares, komplexes Eichfeld.
Von der Rarita-Schwinger-Gleichung existieren auch Weyl- und Majorana-Darstellungen, die sich bezüglich der physikalischen Ergebnisse nicht von der Originalgleichung unterscheiden. Sie wird gewöhnlich dazu benutzt zusammengesetzte Teilchen, wie das Delta (Δ) Baryon zu beschreiben und zu untersuchen. Manchmal wird diese Gleichung auch für hypothetische Teilchenfelder wie das Gravitino verwendet. Zu beachten bleibt, dass bisher noch kein stabiles Elementarteilchen mit Spin 3/2 experimentell nachgewiesen werden konnte.
Artikel
- W. Rarita and J. Schwinger, On a Theory of Particles with Half-Integral Spin Phys. Rev. 60, 61 (1941).
- Collins P.D.B., Martin A.D., Squires E.J., Particle physics and cosmology (1989) Wiley, Section 1.6.
- G. Velo, D. Zwanziger, Propagation and Quantization of Rarita-Schwinger Waves in an External Electromagnetic Potential, Phys. Rev. 186, 1337 (1969).
- G. Velo, D. Zwanziger, Noncausality and Other Defects of Interaction Lagrangians for Particles with Spin One and Higher, Phys. Rev. 188, 2218 (1969).
- M. Kobayashi, A. Shamaly, Minimal Electromagnetic coupling for massive spin-two fields, Phys. Rev. D 17,8, 2179 (1978).
Bücher
- Walter Greiner: Theoretische Physik. Band 6: Relativistische Quantenmechanik. Wellengleichungen. 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Deutsch, Thun u. a. 1987, ISBN 3-8171-1022-7.