Péclet-Zahl

Die Péclet-Zahl (nach Jean Claude Eugène Péclet) ist eine dimensionslose Kennzahl, welche bei Transportprozessen das Verhältnis von konvektiven zu diffusiven Flüssen auf einer charakteristischen Länge $$ L $$ wiedergibt. Sie findet sowohl bei Fragen des Wärme- wie auch des Stofftransportes Verwendung und wird mit $$ Pe $$ abgekürzt.

Wärmetransport

In der Thermodynamik entspricht die Péclet-Zahl dem Produkt von Reynolds-Zahl $$ Re $$ und Prandtl-Zahl $$ Pr $$ und ist definiert als:

Pe={L\cdot v \over a}={L\cdot v\cdot \rho \cdot c_{p} \over \lambda }={L^{2}\cdot \rho \cdot c_{p} \over \lambda \cdot t}={Re\cdot Pr}

Mit:

$$ a $$ - Temperaturleitfähigkeit (in SI-Einheiten: m²/s)
$\lambda$ - Wärmeleitfähigkeit (in SI-Einheiten: W/(m K))
$\rho$ - Dichte (in SI-Einheiten: kg/m³)
$c_{p}$ - spezifische Wärmekapazität (in SI-Einheiten: J / (kg K))
$$ L $$ - Charakteristische Länge (in SI-Einheiten: m)
$$ t $$ - Charakteristische Zeit (in SI-Einheiten: s)
$$ v $$ - Geschwindigkeit (in SI-Einheiten: m/s)

Stofftransport

Bei Stofftransport ergibt sich die Péclet-Zahl als Produkt von Reynolds-Zahl und Schmidt-Zahl $$ Sc $$ und ist definiert als:

Pe={L\cdot v \over D}={Re\cdot Sc}

.

Mit:

$$ D $$ - Diffusionskonstante (in SI-Einheiten: m²/s)

Anwendung findet die Péclet-Zahl zum Beispiel bei der numerischen Berechnung von Transportprozessen. Aufgrund des gleichzeitigen Vorkommens von advektiven und diffusiven Flüssen sind die beschreibenden Differentialgleichungen von einem gemischt hyperbolisch-parabolischem Typ. Die Berechnung der Péclet-Zahl erlaubt dann eine Abschätzung, welcher Typ überwiegt und daher die Wahl eines geeigneten numerischen Verfahrens.

Numerik

Löst man nun die advektive-konvektive Transportgleichung mittels eines Finite Differenzen- oder Finite Elemente-Verfahrens auf einem diskreten Gitter, so definiert man eine sogenannte Zellen- Péclet-Zahl, in der die charakteristische Länge $$ L $$ dann die Zellengröße des Gitters $\Delta x$ darstellt. Sie ergibt sich damit als

Pe={\Delta x\cdot v \over D}={\Delta x\cdot v \over a}

.

Für die Garantie der Stabilität des numerischen Verfahrens muss dann sichergestellt werden, das die Zellen- Péclet-Zahl stets kleiner als eine obere Schranke (je nach Art der numerischen Methode meistens <2) ist. Dies bedeutet dann, dass bei konvektiv-dominantem Transport, d.h. großes $$ v $$ bzw. kleines $$ a $$ oder $$ D $$ in obiger Formel, die Zellengröße u. U. sehr klein gewählt werden muss, was den numerischen Aufwand beträchtlich erhöhen kann.

Siehe auch: Wärmeübertragung, Wärmeübergangszahl, Dimensionsanalyse.