Péclet-Zahl

Die Péclet-Zahl (nach Jean Claude Eugène Péclet) ist eine dimensionslose Kennzahl, welche bei Transportprozessen das Verhältnis von konvektiven zu diffusiven Flüssen auf einer charakteristischen Länge $L$ wiedergibt. Sie findet sowohl bei Fragen des Wärme- wie auch des Stofftransportes Verwendung und wird mit $Pe$ abgekürzt.

Wärmetransport

In der Thermodynamik entspricht die Péclet-Zahl dem Produkt von Reynolds-Zahl $Re$ und Prandtl-Zahl $Pr$ und ist definiert als:

$Pe=\frac{L\cdot v}{a}=\frac{L\cdot v\cdot \rho \cdot c_p}{\lambda }=\frac{L^2\cdot \rho \cdot c_p}{\lambda \cdot t}=Re\cdot Pr$

Mit:

• $a$ - Temperaturleitfähigkeit (in SI-Einheiten: m²/s)
• $\lambda$ - Wärmeleitfähigkeit (in SI-Einheiten: W/(m K))
• $\rho$ - Dichte (in SI-Einheiten: kg/m³)
• $c_p$ - spezifische Wärmekapazität (in SI-Einheiten: J / (kg K))
• $L$ - Charakteristische Länge (in SI-Einheiten: m)
• $t$ - Charakteristische Zeit (in SI-Einheiten: s)
• $v$ - Geschwindigkeit (in SI-Einheiten: m/s)

Stofftransport

Bei Stofftransport ergibt sich die Péclet-Zahl als Produkt von Reynolds-Zahl und Schmidt-Zahl$Sc$ und ist definiert als:

$Pe=\frac{L\cdot v}{D}=Re\cdot Sc$.

Mit:

• $D$ - Diffusionskonstante (in SI-Einheiten: m²/s)

Anwendung findet die Péclet-Zahl zum Beispiel bei der numerischen Berechnung von Transportprozessen. Aufgrund des gleichzeitigen Vorkommens von advektiven und diffusiven Flüssen sind die beschreibenden Differentialgleichungen von einem gemischt hyperbolisch-parabolischem Typ. Die Berechnung der Péclet-Zahl erlaubt dann eine Abschätzung, welcher Typ überwiegt und daher die Wahl eines geeigneten numerischen Verfahrens.

Numerik

Löst man nun die advektive-konvektive Transportgleichung mittels eines Finite Differenzen- oder Finite Elemente-Verfahrens auf einem diskreten Gitter, so definiert man eine sogenannte Zellen- Péclet-Zahl, in der die charakteristische Länge $L$ dann die Zellengröße des Gitters $\mathrm{\Delta }x$ darstellt. Sie ergibt sich damit als

$Pe=\frac{\mathrm{\Delta }x\cdot v}{D}=\frac{\mathrm{\Delta }x\cdot v}{a}$.

Für die Garantie der Stabilität des numerischen Verfahrens muss dann sichergestellt werden, das die Zellen- Péclet-Zahl stets kleiner als eine obere Schranke (je nach Art der numerischen Methode meistens <2) ist. Dies bedeutet dann, dass bei konvektiv-dominantem Transport, d.h. großes $v$ bzw. kleines $a$ oder $D$ in obiger Formel, die Zellengröße u. U. sehr klein gewählt werden muss, was den numerischen Aufwand beträchtlich erhöhen kann.

Siehe auch: Wärmeübertragung, Wärmeübergangszahl, Dimensionsanalyse.