Larmor-Radius

Der Larmor-Radius $ r_{g}\, $ (nach Joseph Larmor; aufgrund der Verwendung im Zyklotron auch Zyklotronradius; andere Bezeichnung Gyroradius) bezeichnet den Radius der Kreisbewegung eines geladenen Teilchens in einem homogenen Magnetfeld:

$ r_{g}={\frac {mv_{\perp }}{|q|B}} $

mit

• $ m\ $ Masse des geladenen Teilchens
• $ v_{\perp } $ Geschwindigkeitskomponente senkrecht zu den magnetischen Feldlinien
• $ q\ $ elektrische Ladung des Teilchens
• $ B\ $ magnetische Flussdichte des homogenen Magnetfelds.

Die Frequenz dieser Kreisbewegung wird Zyklotronfrequenz oder auch Gyrationsfrequenz genannt:

$ \nu ={\frac {qB}{2\pi m}} $

Sie ist von der Larmor-Frequenz zu unterscheiden, die die Frequenz der Spinpräzession beschreibt.

Herleitung

Auf ein geladenes Teilchen, das sich in einem Magnetfeld bewegt, wirkt die Lorentzkraft:

$ {\vec {F}}=q({\vec {v}}\times {\vec {B}}) $

mit

• $ {\vec {v}} $ Geschwindigkeitsvektor des Teilchens,
• $ {\vec {B}} $ Vektor der magnetischen Flussdichte,
• $ q\ $ elektrische Ladung des Teilchens.

Die Richtung der Kraft wird durch das Kreuzprodukt der Geschwindigkeit und der magnetischen Flussdichte bestimmt. Daher wirkt die Lorentzkraft immer senkrecht zur Bewegungsrichtung und zwingt des Teilchen auf eine Kreisbahn. Der Radius $ r_{g}\ $ dieser Kreisbewegung ergibt sich durch Gleichsetzen von Lorentzkraft und Zentripetalkraft:

$ {\frac {mv_{\perp }^{2}}{r_{g}}}=qv_{\perp }B $

mit

• $ m\ $ Masse des Teilchens,
• $ v_{\perp }\ $ Geschwindigkeitskomponente senkrecht zu den magnetischen Feldlinien,
• $ B\ $ magnetische Flussdichte.

Nach $ r_{g}\ $ aufgelöst, ergibt sich der Larmor-Radius zu:

$ r_{g}={\frac {mv_{\perp }}{qB}} $

Hieraus ist ersichtlich, dass der Larmor-Radius zu Masse und Geschwindigkeit des Teilchens direkt proportional und zu elektrischer Ladung des Teilchens und magnetischer Flussdichte umgekehrt proportional ist.

Normalisierter Gyroradius

In der Fusion bezeichnet man den Larmor-Radius bezogen auf eine typische Ausdehnung des Plasmas (bei toroidalen Geometrien wird der kleine Radius a verwendet) als normalisierten Gyroradius:

$ \rho ^{*}={\frac {r_{g}}{a}}. $

Er ist ein wichtiger dimensionsloser Parameter für die Dimensionsanalyse von Fusionsmaschinen.

Literatur

• Ulrich Stroth: Plasmaphysik: Phänomene, Grundlagen, Anwendungen. Vieweg + Teubner, 2011, ISBN 9783834816153 (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).