Konservative Kraft

Konservative Kräfte (von lateinisch conservare = bewahren) sind in der Physik Kräfte, die längs eines in sich geschlossenen Weges keinerlei Arbeit verrichten – jede an einer Stelle des Weges „verbrauchte“ Energiemenge wird an irgendeiner anderen Stelle wieder zurückgewonnen und umgekehrt, d. h. alle Energie eines Probekörpers bleibt ihm am Ende erhalten.

Beispiele konservativer Kräfte sind zum einen solche, die wie die Gravitationskraft oder Coulombkraft des elektrischen Feldes durch konservative Kraftfelder (s. u.) vermittelt werden, zum anderen aber auch Kräfte wie z. B. Federkräfte^[1], die nicht durch Kraftfelder im eigentlichen Sinn vermittelt werden.

Bekanntestes Beispiel einer durch ein Kraftfeld vermittelten konservativen Kraft ist die homogene Näherung der Erdanziehungskraft in der Nähe der Erdoberfläche. Die Kraft $F=-mg$ ist gerade die negative Ableitung der potentiellen Energie $W_{pot}=mgh$ nach der Höhe h. Egal auf welchem Weg man von einem Punkt auf Höhe $h_1$ zu einem Punkt auf Höhe $h_2$ gelangt, ist dabei immer dieselbe Arbeit $\mathrm{\Delta }W=mg(h_2-h_1)$ aufzubringen. Die potentielle Energie bezieht sich dabei allerdings immer noch auf eine Probemasse m (oder Probeladung q im Fall des elektrischen Feldes), während das von der Probe unabhängige Skalarfeld $\mathrm{\Phi }=W_{pot}/m=g\text{·}h$ (bzw. $\mathrm{\Phi }=W_{pot}/q=E\text{·}s$ im Fall des elektrischen Feldes) das physikalische Potential an der betreffenden Stelle genannt wird und als solches eine äquivalente Darstellung des zugrundeliegenden Vektorfelds ist.

Das Gegenteil konservativer Kräfte sind nicht-konservative Kräfte, also solche, die längs eines in sich geschlossenen Weges Arbeit verrichten, und zwar umso mehr, je länger der dabei zurückgelegte Weg ist. Beispiele derartiger nicht-konservativer Kräfte sind zum einen Kräfte in nicht-konservativen Kraftfeldern wie etwa (magnetischen) Wirbelfeldern, zum anderen sogen. dissipative Kräfte (von lateinisch dissipare = zerstreuen), z. B. Reibungskräfte.

Die meisten physikalischen Systeme sind, da ihnen stets Energie durch Reibung und/oder nicht-konservative Kraftfelder (z. B. Wirbelfelder) verloren geht, nicht-konservativ. Erweitert man dagegen die Perspektive, indem man beispielsweise bei Betrachtung der Energieverluste durch Reibung auch die Energieinhalte angekoppelter Wärmereservoirs mit berücksichtigt, bleibt die Energie am Ende doch immer in irgendeiner Form erhalten.

Konservative Kraftfelder

Konservative Kraftfelder sind dem zuvor Gesagten folgend solche, in denen ein Probekörper beim Durchlaufen eines in sich geschlossenen Weges weder Energie gewinnt noch verliert.

Es lässt sich zeigen, dass die nachstehenden vier Charakteristika eines konservativen Kraftfelds $\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})$ einander äquivalent sind:

1. Die Arbeit entlang einer beliebigen geschlossenen Kurve $C$ innerhalb des Feldes ist gleich Null, also ${\oint }_C\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}=0$.

2. Die Arbeit $W={\int }_S\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}$ entlang eines beliebigen Weges $S$ durch das Kraftfeld ist nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges, nicht aber von seinem Verlauf abhängig.

3. Es existiert ein skalares Feld $\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})$, das das zugehörige Potential des Kraftfelds genannt wird, so dass sich die Kraft $\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})$ auch in der Form $\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})=-k\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})$ beschreiben lässt, d. h. als Gradientenfeld, mit $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$ als dem Nabla-Operator, $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})$ als dem Gradienten des Potentials und k als einem Faktor, der im Fall des elektrischen Felds die elektrische Ladung q des Probekörpers, im Fall des Gravitationsfelds dagegen seine Masse m ist.

4. Das Feld ist auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet definiert und erfüllt dort die Integrabilitätsbedingung $\frac{\partial F_k}{\partial x_i}=\frac{\partial F_i}{\partial x_k}$. Dies bedeutet, dass die Rotation verschwindet, also $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})=0$ bzw. $\mathrm{rot}\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})=0$ ist.

Analog zum eben Gesagten werden in der Mathematik ganz allgemein Vektorfelder, die sich als Gradienten skalarer Felder beschreiben lassen, als konservativ bezeichnet, zusammengesetzt aus Potentialvektoren, denen auf Seiten der skalaren Ausgangsfelder die zugehörigen Potentiale gegenüberstehen^[2].

Potentiale und Potentialfelder

Beispiele von Potential- und Gradientenfeldern in der Physik
Skalarfelder (Potentialfelder) (gelb):
V_G - Gravitationspotential
W_pot - potentielle Energie
V_C - Coulomb-Potential
Vektorfelder (Gradientenfelder) (cyan):
a_G - Gravitationsbeschleunigung
F - Kraft
E - elektrische Feldstärke

Der Begriff des Potentials wird in der Physik und Mathematik zum Teil unterschiedlich gebraucht.

So bezeichnet das Potential in der Mathematik ganz allgemein eine Klasse skalarer Ortsfunktionen bzw. Skalarfelder mit bestimmten mathematischen Eigenschaften, während es in der Physik nur den Quotienten der potentiellen Energie $W_{\mathrm{pot}}$ eines Körpers an der Stelle $\overrightarrow{r}$ und seiner elektrischen Ladung q bzw. Masse m definiert:

$V_C(\overrightarrow{r})=\frac{W_{\mathrm{pot}}(\overrightarrow{r})}{q}\text{bzw.}{V}_G(\overrightarrow{r})=\frac{W_{\mathrm{pot}}(\overrightarrow{r})}{m}$

Ein Potential im physikalischen Sinn $V(\overrightarrow{r})$ ist dabei stets auch eines im mathematischen Sinn, jedoch nicht umgekehrt: So sind sowohl das Gravitations- und Coulomb-Potential $V_G$ und $V_C$ wie auch die potentielle Energie $W_{\mathrm{pot}}$ in einem konservativen Kraftfeld ihrer mathematischen Natur nach Potentiale, im physikalischen Sinn jedoch nur die beiden erstgenannten.

Ähnlich kompliziert verhält es sich mit der Terminologie bei den Gradienten von Potentialen, also den aus den jeweiligen Skalarfeldern $\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})$ abgeleiteten Vektorfeldern $\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})$: Ihrer mathematischen Natur nach demnach Gradientenfelder, zusammengesetzt aus Gradientvektoren, werden sie dennoch vielfach als „Potentialfelder“ bezeichnet, zusammengesetzt aus Potentialvektoren^[2].

Die nebenstehende Abb. veranschaulicht noch einmal die Beziehungen zwischen den verschiedenen Begriffen, und was sich dahinter praktisch verbirgt. Wie zu sehen, ergibt sich die Begriffsvielfalt aus lediglich zwei mathematischen Operationen in vertauschter Reihenfolge: zum einen der Division durch Ladung oder Masse, zum anderen der Ableitung nach dem Ort, d. h. Bildung des Gradienten mit Hilfe des Nabla-Operators.

Beispiel

Der Gradient der potentiellen Energie $W_{pot}$ an der Stelle $\overrightarrow{r}$ liefert die an dieser Stelle wirkende und dem Prinzip des kleinsten Zwanges folgend stets in Richtung abnehmender potentieller Energie zeigende „rücktreibende“ Kraft $-\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})$:

$\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{W}_{pot}(\overrightarrow{r})$

In der Nähe der Erdoberfläche ist die potentielle Energie $W_{pot}$ einer Masse $m$ in Höhe $h$ über dem Boden unter Annahme einer für kleinen Höhenänderungen annähernd konstanten Erdbeschleunigung $g$ gleich $mgh$. Ersetzt man, da es sich beim Gravitationsfeld der Erde um ein zumindest lokal radiales Feld handelt, den Ortsvektor $\overrightarrow{r}$ durch die Höhe $h$ und den Gradienten durch die Ableitung nach $h$, ergibt sich damit für die Schwerkraft die Formel:

$F(h)=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}{W}_{pot}(h)=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}(mgh)=-mg$

Wie dem Vorzeichen des Resultats anzusehen, ist die Kraft $F(h)$ der Richtung zunehmender Höhe entgegengesetzt.

Lokale Konservativität

Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters (Sicht entgegen der konventionellen Stromrichtung)

Beim letzten der obengenannten vier Charakteristika konservativer Kraftfelder ist insbesondere auf das Kriterium des „zusammenhängenden Gebiets“, also darauf zu achten, dass das Gebiet, anschaulich gesprochen, keine „Löcher“ oder ähnliche Definitionslücken enthält. Nicht „zusammenhängend“ in diesem Sinn ist beispielsweise das Gebiet um einen stromdurchflossenen Leiter, dessen Magnetfeld zwar außerhalb des Leiters wie nachstehend definiert ist, für die z-Achse (0|0|z) selbst jedoch weder $\overrightarrow{B}$ noch seine Ableitung existieren:

$\overrightarrow{B}(x,y,z)=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi }\cdot \frac{1}{x^2+y^2}\left(\begin{array}{c}-y\\ x\\ 0\end{array}\right)$

So gilt zwar außerhalb des Leiters $\mathrm{rot}\overrightarrow{B}=0$, dennoch verschwindet ein Ringintegral um die z-Achse nicht. Integriert man zum Beispiel entlang des Einheitskreises, der durch

$C:\overrightarrow{r}(\phi )=\left(\begin{array}{c}\cos (\phi )\\ \sin (\phi )\end{array}\right)$ mit $0\le \phi <2\pi$

parametrisiert wird, so erhält man als Wegintegral

$\begin{array}{rl}{\int }_C\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}& =\int \overrightarrow{B}(\overrightarrow{r}(\phi ))\cdot \frac{\partial \overrightarrow{r}(\phi )}{\partial \phi }\mathrm{d}\phi \\ & ={\int }_0^{2\pi }\left(\begin{array}{c}-\sin (\phi )\\ \cos (\phi )\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-\sin (\phi )\\ \cos (\phi )\end{array}\right)d\phi \\ & ={\int }_0^{2\pi }1d\phi =2\pi \ne 0\end{array}$

Obwohl die Rotation $\mathrm{rot}\overrightarrow{B}$ mit Ausnahme der Definitionslücke an der z-Achse überall verschwindet, ist das B-Feld dadurch nicht durchgehend konservativ. Da die Energie dennoch auf allen Pfaden erhalten bleibt, die die z-Achse nicht umschließen, spricht man hier einschränkend von lokaler Konservativität.

Beweis der Äquivalenz der Kriterien

Wie anfangs bereits festgestellt, sind die vier Definitionen für ein konservatives Kraftfeld miteinander gleichbedeutend. Das erste Kriterium ist gerade die Definition einer konservativen Kraft aus der Einleitung, die anderen folgen daraus.

Zwei beliebige Wege in einem konservativen Kraftfeld

1. Davon ausgehend, dass die Arbeit entlang eines geschlossenen Pfades verschwindet, kann zunächst die Korrektheit des zweiten Kriteriums gezeigt werden. Man betrachte dazu zwei Wege $S_1$ und $S_2$ zwischen den Punkten 1 und 2 in einem konservativen Kraftfeld wie im Bild rechts:

Verläuft $C$ von Punkt 1 über Weg $S_1$ zum Punkt 2, dann über den Weg $S_2$ zurück zum Punkt 1, so ergibt sich das Ringintegral über diesen Weg damit zu

$0={\oint }_C\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}={\int }_{1,S_1}^2\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}+{\int }_{2,-S_2}^1\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}$

Mit

${\int }_{1,S_1}^2\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}=-{\int }_{2,-S_2}^1\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}={\int }_{1,S_2}^2\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}$

ist das dann und genau dann null, wenn

${\int }_{1,S_1}^2\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}={\int }_{1,S_2}^2\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}$

was gerade der Wegunabhängigkeit und damit der zweiten Definition für ein konservatives Kraftfeld entspricht.

2. Wenn $\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}V(\overrightarrow{r})$, so ist

${\int }_1^2\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}=-{\int }_1^2\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}V(\overrightarrow{r})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}=V(2)-V(1)$, unabhängig vom Weg S.

3. Wenn $\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}V(\overrightarrow{r})$, so gilt für die Rotation

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}V(\overrightarrow{r})=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x}\\ \frac{\partial }{\partial y}\\ \frac{\partial }{\partial z}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}\frac{\partial V}{\partial x}\\ \frac{\partial V}{\partial y}\\ \frac{\partial V}{\partial z}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial y\partial z}-\frac{{\partial }^{2}V}{\partial z\partial y}\\ \frac{{\partial }^{2}V}{\partial z\partial x}-\frac{{\partial }^{2}V}{\partial x\partial z}\\ \frac{{\partial }^{2}V}{\partial x\partial y}-\frac{{\partial }^{2}V}{\partial y\partial x}\end{array}\right)=\overrightarrow{0}$,

wobei der letzte Schritt wegen der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen gemäß dem Satz von Schwarz zustande kam.

4. Nach dem Satz von Stokes gilt für eine geschlossene Kurve C, die von einer Fläche A umschlossen wird

${\iint }_A\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{F}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{A}={\oint }_C\overrightarrow{F}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}$.

Dieses Integral verschwindet für alle Kurven C dann und genau dann, wenn $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})=\overrightarrow{0}$ ist.

Energieerhaltung

In der klassischen Mechanik gilt für die kinetische Energie

$T=\frac{1}{2}m{\overrightarrow{v}}^2$,

wobei $\overrightarrow{v}$ die Geschwindigkeit ist.

Mit dem zweiten Newtonschen Axiom

$\overrightarrow{F}=m\dot{\overrightarrow{v}}$

für konstante Massen $m$ kann die Energie geschrieben werden.

$E={\int }_{t_1}^{t_2}\overrightarrow{F}(t)\cdot \overrightarrow{v}(t)\mathrm{d}t={\int }_{t_1}^{t_2}m\dot{\overrightarrow{v}}(t)\cdot \overrightarrow{v}(t)\mathrm{d}t$.

Dann gilt für den Weg von Punkt 1 zum Punkt 2 das Wegintegral

${\int }_{1,S1}^2\overrightarrow{F}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}=m{\int }_{t_1}^{t_2}\dot{\overrightarrow{v}}(t)\cdot \overrightarrow{v}(t)\mathrm{d}t$.

Für die rechte Seite dieser Gleichung gilt

${\int }_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{1}{2}m{\overrightarrow{v}}^2(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}m{\overrightarrow{v}}^2(t_2)-\frac{1}{2}m{\overrightarrow{v}}^2(t_1)=T(t_2)-T(t_1)=T_2-T_1$.

Das bedeutet, dass die gesamte Arbeit, die bei der Bewegung aufgebracht wird, der Änderung der kinetischen Energie entspricht. Für die linke Seite gilt hingegen unter Verwendung der Eigenschaften konservativer Kräfte

${\int }_{1,S1}^2\overrightarrow{F}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}=-{\int }_{1,S1}^2\mathrm{\nabla }V\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}=-V(r_2)+V(r_1)=-V_2+V_1$

und damit

$T_2-T_1=-V_2+V_1$

bzw.

$T_1+V_1=T_2+V_2$

was gerade dem Energieerhaltungssatz entspricht. Die Eigenschaft der Energieerhaltung ist auch der Grund, weshalb konservative Kraftfelder ihren Namen erhielten – die Energie ist konserviert.

Einzelnachweise