Bogoliubov-Ungleichung
Als Bogoliubov-Ungleichung werden zwei Ungleichungen bezeichnet, die beide sehr allgemeine Aussagen in der statistischen Physik machen. Die erste so bezeichnete Ungleichung ist eher abstrakt und setzt einen mit zwei Operatoren, A bzw. C, gebildeten Ausdruck (einen Erwartungswerten von quantenmechanischen Operatoren im thermischen Gleichgewicht) in Beziehung zu einem Produkt aus zwei mit den separaten Operatoren gebildeten Korrelationsfunktionen . Veröffentlicht wurde die Ungleichung 1962[1] von dem russischen Physiker und Mathematiker Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow. Variante 2 ist konkreter: sie betrifft die Freie Energie eines thermodynamischen Systems und ihre verschiedenen Näherungen und ist allgemeiner bekannt (siehe viele Standard-Lehrbücher der Statistischen Physik).
Inhalt der Variante 1
Betrachtet wird ein physikalisches System, beschrieben mittels eines Hamiltonoperators H. Dann gilt für zwei Operatoren A und C (für die die angegebenen Mittelwerte existieren, die aber ansonsten beliebig sind):
- $ |\langle [A,C]\rangle |^{2}\leq {\frac {\beta }{2}}\langle \{A,A^{\dagger }\}\rangle \cdot \langle [C^{\dagger },[H,C]]\rangle \qquad {\text{mit}}\qquad \beta ={\frac {1}{k_{B}T}} $
wobei $ [A,C] $ als Kommutator bzw. $ \{A,A^{\dagger }\} $ als Anti-Kommutator zu verstehen sind, sowie der Erwartungswert eines Operators X als
- $ \langle X\rangle ={\text{Sp}}(e^{-\beta H}X)/{\text{Sp}}(e^{-\beta H}) $
gegeben ist. $ k_{B} $ ist die Boltzmann-Konstante. Der (ursprüngliche) Beweis des Mermin-Wagner-Theorems, eines Fundamentaltheorems über die Unmöglichkeit geordneter zweidimensionaler Ferromagnete (bzw. Supraleiter bzw. Kristalle) bei isotroper Wechselwirkung, beruht hauptsächlich auf dieser Ungleichung.[2]
Beweisidee
Der Beweis der Bogoliubov-Ungleichung basiert darauf, dass über
$ (A,B):=\sum _{nm}^{E_{n}\neq E_{m}}\langle n|A^{\dagger }|m\rangle \langle m|B|n\rangle {\frac {e^{-\beta E_{m}}-e^{-\beta E_{n}}}{E_{n}-E_{m}}} $
ein positiv semi-definites Skalarprodukt definiert werden kann. Als Skalarprodukt erfüllt es die Schwarzsche Ungleichung:
- $ |(A,B)|^{2}\leq (A,A)\cdot (B,B) $
Betrachtet man nun $ B=[C^{\dagger },H] $ so erhält man die Ungleichung.
Variante 2
Eine andere Beziehung ist ebenfalls als Bogoliubov'sche Ungleichung bekannt (siehe z. B. die englische Wikipedia im Artikel http://en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_free_energy#Bogoliubov_inequality ) , aber allgemeiner anwendbar, z. B. bei der Approximation der sog. Freien Energie $ F $ eines beliebigen thermodynamischen Systems durch Näherungsverfahren, z. B. durch eine Molekularfeld-Näherung. Diese ebenfalls als "Bogoliubov'sche Ungleichung" bezeichnete Beziehung beruht darauf, dass in solchen Fällen der Hamiltonoperator $ {\mathcal {H}} $ des System durch eine Näherung $ {\mathcal {H}}_{0} $ ersetzt wird. Es gilt dann die Beziehung
- $ F\leq F_{0}+\langle {\mathcal {H}}-{\mathcal {H}}_{0}\rangle _{0}\,, $
wobei auf der rechten Seite dieser Ungleichung alle Erwartungwerte konsequent mit dem Näherungsoperator zu berechnen sind, z. B. $ \langle X\rangle _{0}={\frac {{\rm {{Spur}\,\,}}(e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}}X)}{{\rm {Spur}}\,\,e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}}}}\,. $ Die freie Energie ist i.W. der Logarithmus der Zustandssumme, $ F=-\beta ^{-1}\ln {\rm {{Spur}\,\,e^{-\beta {\mathcal {H}}}}}\,. $ Das Multiplikationszeichen, $ \cdot \,, $ ist jetzt durch das Summenzeichen, +, ersetzt, was wegen des logarithmischen Charakters der Freien Energie sachgemäß ist (ln a•b =ln a + ln b).
Ein Beweis der Variante 2 findet sich in dem angegebenen Artikel. Beide Varianten beruhen auf ähnlichen Ideen.
Literatur
- Nolting Quantentheorie des Magnetismus, Teubner, Bd.2