Adiabatisches Theorem der Quantenmechanik

Das adiabatische Theorem der Quantenmechanik, auch Adiabatensatz der Quantenmechanik genannt, besagt, dass der Zustand des Systems

$ \psi (t)=e^{i\alpha (t)}\cdot \left|n(t)\right\rangle $

im Verlauf der adiabatischen Zeitentwicklung in guter Näherung im $ n $-ten Eigenzustand von $ H(t) $ verbleibt, wenn sich der Hamiltonoperator $ H(t) $ eines Systems „langsam genug“ ändert (zum Beispiel aufgrund äußerer Einflüsse).

„Langsam genug“ bedeutet (für $ m\neq k $), dass

$ {\left|\left\langle m(t)\left|{\frac {d}{dt}}H(t)\right|k(t)\right\rangle \right|}\ll {\frac {\left|E_{k}(t)-E_{m}(t)\right|}{\Delta T_{km}}} $

gilt.

Dabei ist $ \Delta T_{km} $ die charakteristische Zeit des Übergangs des Systems vom Zustand $ \left|k(t)\right\rangle $ in den Zustand $ \left|m(t)\right\rangle $ und $ E_{k}(t) $ und $ E_{m}(t) $ sind die zu den Zuständen $ k $ und $ m $ gehörenden Energie-Eigenwerte des Systems.

Das bedeutet, dass die Änderung von $ H(t) $ langsam ist im Vergleich zur natürlichen Zeitskala des Systems, welche durch Übergänge zwischen den energetischen Eigenzuständen definiert wird.

Im adiabatischen Grenzfall sind die Änderungen von $ H(t) $ unendlich langsam:

$ \Delta T_{km}\longrightarrow \infty $ und damit folgt: $ \left|\left\langle m(t)\left|{\frac {d}{dt}}H(t)\right|k(t)\right\rangle \right|\longrightarrow 0 $.

Beispiele in der Physik

Das wohl bekannteste Beispiel in der Physik ist die Born-Oppenheimer-Näherung. Max Born und Robert Oppenheimer konnten zeigen, dass für die Berechnung der Zustandsänderungen der Elektronen eines Moleküls die Bewegung der Atomkerne (die Änderung von $ H(t) $) vernachlässigt werden kann. Einfach ausgedrückt bewegen sich die Elektronen so schnell und die Zeit, die sie für einen Übergang zwischen zwei Elektronenniveaus brauchen, ist so kurz, dass die Bewegung der (langsamen) Atomkerne für eine Berechnung keine Rolle spielt.

Geschichte

Das adiabatische Theorem der Quantenmechanik geht zurück auf Arbeiten von Max Born und Wladimir Alexandrowitsch Fock aus dem Jahr 1928. Eine vollständige mathematische Formulierung gelang jedoch erst Tosio Kato (1950) im Zusammenhang mit der Störungstheorie linearer Operatoren.

Michael Berry zeigte 1984, dass bei zyklischer adiabatischer Änderung der Parameter das System zwar in seinen Ausgangszustand zurückkehrt, aber unter Umständen einen von der Geometrie des Parameterraums abhängigen Phasenfaktor erhält (Berry-Phase).

Literatur

• M. Born, V. Fock: Beweis des Adiabatensatzes. In: Zeitschrift für Physik. 51, Nr. 3-4, 1928, S. 165–180, doi:10.1007/BF01343193.
• Tosio Kato: On the Adiabatic Theorem of Quantum Mechanics. In: Journal of the Physical Society of Japan. 5, Nr. 6, 1950, S. 435–439, doi:10.1143/JPSJ.5.435.
• V. S. Buslaev, E. A. Grinina: Remarks on the quantum adiabatic theorem. In: St. Petersburg Mathematical Journal. 16, Nr. 04, 2005, S. 639–648 (Siehe auch darin angegebene Referenzen).