Äquivalenz von Masse und Energie

Skulptur Relativitätstheorie im Berliner Walk of Ideas zur FIFA-Fußball-Weltmeisterschaft in Deutschland 2006

Die Äquivalenz von Masse und Energie (oder kurz: E=mc²) ist die Erkenntnis der relativistischen Physik, dass Masse und Energie nicht unabhängig sind; vielmehr besitzt jedes physikalische System mit der Masse $ m $ eine Ruheenergie

$ E_{0}=mc^{2}. $

Dabei ist $ c $ die Lichtgeschwindigkeit. Diese Erkenntnis wurde 1905 durch Albert Einstein formuliert^[1].

Durch den großen Faktor $ c^{2} $ gehen Energieumsätze, wie sie im Alltag typisch sind, nur mit unmerklich kleinen Änderungen der Masse einher. So ist z. B. die Sonne trotz ihrer hohen Temperatur nur um etwa 0,0001 % massereicher als wenn sie kalt wäre. Daher bleibt die Trennung der Konzepte von Masse und Energie in vielen Bereichen sinnvoll. In der Kernphysik, Elementarteilchenphysik und Astrophysik tritt die Äquivalenz von Masse und Energie allerdings weit deutlicher in Erscheinung. Treffen beispielsweise ein Teilchen und das zugehörige Antiteilchen aufeinander, so vernichten sie sich gegenseitig. Die Energie der entstehenden Photonen entspricht der Masse der dabei vernichteten Teilchen. Aber auch Atomkerne sind aufgrund der Bindungsenergie knapp 1% masseärmer als ihre ungebundenen Kernbausteine.

Überblick und Beispiele

Dass die Äquivalenz von Masse und Energie in der klassischen Physik wie im Alltag unbemerkt blieb, lässt sich aus der Größe des Faktors $ c^{2}{\mathord {\approx }}\,9\cdot 10^{16}\,m^{2}/s^{2} $ heraus verstehen. Nach $ E_{0}=mc^{2} $ entsprechen den Energieumsätzen von normaler Größe (etwa bei chemischen Reaktionen wie Verbrennung oder bei Erzeugung von Wärme durch mechanische Arbeit) nur extrem kleine Änderungen der Masse, die mit der Waage auch heute kaum messbar sind. Infolgedessen wurden für abgeschlossene Systeme zwei getrennte Erhaltungssätze aufgestellt: Erhaltung der gesamten Masse, Erhaltung der gesamten Energie. Da jedoch Umwandlungen zwischen kinetischer Energie und Ruheenergie möglich sind (Beispiele: inelastischer Stoß, radioaktiver Zerfall) und nur die Ruheenergie zur Masse beiträgt, ist die Massenerhaltung nicht allgemein gültig.^[2] Die mit einer Energieübertragung $ \Delta E $ verbundene Änderung $ \Delta m{\mathord {=}}\Delta E/c^{2} $ der Masse eines Objekts wird auch als Massenzuwachs bzw. Massendefekt bezeichnet. An Stelle von zwei Erhaltungssätzen hat man also nur noch einen, den Energieerhaltungssatz.

Die an der Masse ablesbare Ruheenergie übersteigt die kinetische Energie in alltäglichen Situationen um viele Größenordnungen. Zwar ließe die in Wärme umgewandelte kinetische Energie eine Raumkapsel bei der Rückkehr verglühen, wenn sie nicht durch den sog. „Hitzeschild“ abgeschirmt würde; dabei ist aber diese sehr hohe kinetische Energie nur ein winziger Bruchteil (etwa 1/2 Milliardstel) der Ruheenergie:

$ {\frac {{\frac {1}{2}}\,m\,v^{2}\,}{m\,c^{2}\,}}\;\approx \;{\frac {1}{2}}\left({\frac {10\;{\text{km/s}}}{300\,000\;{\text{km/s}}}}\right)^{2}\;\approx \;0,5\cdot 10^{-9}. $

Ein Wasserstoff-Atom hat gegenüber einem freien Elektron und einem freien Proton nur ca. 1/70 000 000 weniger Masse. Für Atomkerne ist der Beitrag jedoch recht groß: Beispielsweise rund 0,8 % bei C¹².

Bekannte Beispiele für die Äquivalenz von Masse und Energie sind:

• Vernichtungsstrahlung: Ein Teilchenpaar Elektron-Positron, das zusammen eine Masse von ca. 2·10^-30kg besitzt, kann sich in masselose Strahlung auflösen: zwei Gammaquanten von je 511 keV Energie. Die Masse oder Ruhenergie $ E_{0}=mc^{2} $ des Systems vor der Vernichtung und die Energie der Strahlung nachher sind identisch.
• Kernspaltung: Ein Atomkern des Elements Uran kann in mehrere Bruchstücke zerplatzen, deren Massen zusammen ca. 0,1 % leichter sind als der Urankern. Die dabei freigesetzte Energie entspricht nach $ E_{0}=mc^{2} $ genau der Abnahme der Masse und kann (bei Spaltung einer entsprechenden Stoffmenge) u. a. als Explosion (Atombombe) oder Wärmequelle (Kernkraftwerk) in Erscheinung treten.
• Die Sonne verliert allein durch das von ihr abgestrahlte Licht in jeder Sekunde rund 4 Millionen Tonnen Masse. Verglichen mit der gesamten Masse der Sonne von rund $ 2\cdot 10^{30}\;{\text{kg}} $ ist dieser Anteil jedoch weitgehend vernachlässigbar. Auch nach mehreren Milliarden Jahren hat die Sonne weit weniger als ein Promille an Masse durch Strahlung verloren.

Einordnung

Die moderne Physik formuliert die Begriffe Masse und Energie mithilfe der Energie-Impuls-Beziehung der speziellen Relativitätstheorie: Demnach hat jedes abgeschlossene physikalische System eine Gesamtenergie $ E $ und einen Impuls $ {\vec {p}}=(p_{x},p_{y},p_{z}), $ deren Werte je nach dem gewählten Bezugssystem verschieden sein können, sowie eine unveränderliche Masse $ m $, die eine vom Bezugssystem unabhängige Eigenschaft des betrachteten Systems ist. Die Größen $ ({\tfrac {E}{c}},{\vec {p}}) $ bilden die Komponenten des Energie-Impuls-Vierervektors des Systems. Die Norm dieses Vierervektors ist (bis auf einen konstanten Faktor c) durch die Masse $ m $ des Systems bestimmt:

$ mc={\sqrt {\left({\tfrac {E}{c}}\right)^{2}-p^{2}}} $

Im Schwerpunktsystem ($ {\vec {p}}=0 $) ergibt sich für die Energie wieder $ E=mc^{2} $, auch oft als Ruheenergie $ E_{0} $ bezeichnet.

Von einem anderen Bezugssystem aus betrachtet hat dasselbe System andere Werte für die vier Komponenten, die man durch Umrechnung mit der Lorentztransformation erhält. Bewegt sich das System beispielsweise mit Geschwindigkeit $ {\vec {v}} $ gegen das Schwerpunktsystem, ergibt sich für die relativistische Gesamtenergie und den Impuls:

$ E=\gamma mc^{2},\quad {\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}},\quad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} $.

Dabei bleibt die Norm des Vierervektors $ (E/c,{\vec {p}}) $ erhalten (siehe oben), die Masse $ m $ ist also eine Lorentzinvariante, früher als Ruhemasse bezeichnet.

Wenn man die Gleichung $ E=\gamma mc^{2} $ in eine Taylor-Reihe um den Punkt $ v=0 $ entwickelt, erhält man:

$ E=mc^{2}+mc^{2}\cdot {\frac {v^{2}}{2c^{2}}}+mc^{2}\cdot {\frac {3v^{4}}{8c^{4}}}+... $

Das „nullte“ Glied dieser Reihe ist wieder die Ruheenergie eines Körpers der Masse $ m $: $ E_{0}=mc^{2} $. Das nächste Glied ergibt nach Kürzen mit $ c^{2} $ die klassische kinetische Energie. Alle höheren Glieder können im nichtrelativistischen Fall (d. h. $ v\ll c $) vernachlässigt werden. Es folgt dann:

$ E_{\mathrm {kin} }=E-E_{0}\approx {\frac {1}{2}}mv^{2} $

Bei sehr großen Geschwindigkeiten können die höheren Glieder nicht mehr vernachlässigt werden. Sie repräsentieren dann das überproportionale Anwachsen der kinetischen Energie für relativistische Geschwindigkeiten.

Gravitation

Einstein erweiterte 1907 seine Überlegungen auch auf die Gravitation.^[3] Das Äquivalenzprinzip, also die Gleichheit von träger und schwerer Masse, führte ihn zur Schlussfolgerung, dass eine Zunahme der Ruheenergie eines Systems auch eine Zunahme der schweren Masse zur Folge hat. Bei der Weiterführung dieses Gedankens im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie ergab sich, dass der Energie-Impuls-Tensor als Quelle des Gravitationsfeldes anzusehen ist.

Ein Beispiel ist der Gravitationskollaps. Wenn im Innern eines Sterns die nukleare Wärmeerzeugung erlischt, konzentriert sich seine Materie auf so kleinem Raum, dass bei ausreichend großer Gesamtmasse das immer stärker werdende Gravitationsfeld selber durch seine Feldenergie zur weiteren Anziehung und Kontraktion beiträgt. Die Folge ist ein Schwarzes Loch.

Relativistische Masse

In älteren Lehrbüchern wird die Äquivalenzformel $ E=mc^{2} $ oft nicht nur auf die Ruheenergie $ E_{0} $ und die invariante Masse, sondern auch auf die relativistische Gesamtenergie $ E=\gamma mc^{2} $ und folglich eine sog. relativistische oder dynamische Masse bezogen:

$ E=m_{\mathrm {rel} }c^{2},\quad m_{\mathrm {rel} }=\gamma m=m+{\frac {E_{\mathrm {kin} }}{c^{2}}}. $

Gemäß dieser Schreibweise sind Energie und (relativistische) Masse unter allen Umständen äquivalent. Diese Interpretation der Masse ist aber fragwürdig (siehe den Abschnitt zur sog. relativistischen Masse), und Einstein selbst lehnte sie ab^[4]. In vielen modernen Lehrbüchern wird daher das Konzept der relativistischen Masse als unzweckmäßig zurückgewiesen. Stattdessen solle die Äquivalenzbeziehung ausschließlich im Zusammenhang mit der Ruheenergie $ E_{0}=mc^{2} $ benutzt werden.^[5]

Geschichte

Der Zusammenhang zwischen Masse, Energie, und Lichtgeschwindigkeit wurde bereits ab 1880 von unterschiedlichen Autoren im Rahmen von Maxwells Elektrodynamik bedacht.^{[6][7][8][9][10]} Joseph John Thomson (1881), George Searle (1897), Wilhelm Wien (1900), Max Abraham (1902) und Hendrik Lorentz (1904) erschlossen, dass die elektromagnetische Energie dem Körper eine „elektromagnetische Masse" hinzufügt gemäß der Formel (in moderner Notation)

$ m_{\text{em}}={\frac {4}{3}}{\frac {E_{\text{em}}}{c^{2}}} $.

Zu derselben Formel gelangte Friedrich Hasenöhrl (1904/5) durch Betrachtung der elektromagnetischen Hohlraumstrahlung eines Körpers, wobei er auch die Abhängigkeit der Masse von der Temperatur feststellte. Henri Poincaré (1900) hingegen folgerte aus Betrachtungen zum Reaktionsprinzip, dass elektromagnetische Energie einer „fiktiven“ Masse von

$ m_{\text{em}}={\frac {E_{\text{em}}}{c^{2}}} $

entspricht. Die elektromagnetische Masse wurde häufig auch als „scheinbare“ Masse bezeichnet, da man diese vorerst von der „wahren“, mechanischen Masse Newtons unterschied.

Aber erst Albert Einstein (1905) war es dann, der die gesamte Ruheenergie durch^[1]

$ E_{\text{Ruhe}}=m\,c^{2} $

mit der gesamten Masse in eine Beziehung setzte, die in eine umfassende Theorie, die spezielle Relativitätstheorie, eingebettet war. Dabei ergab sich, dass alle vorhergehenden Spekulationen über die elektromagnetische Natur der Masse in eine falsche Richtung wiesen, denn in der speziellen Relativitätstheorie gilt ausnahmslos die Äquivalenz von Masse und Ruheenergie, unabhängig davon, ob die Masse elektromagnetischen Ursprungs ist oder nicht. Wichtige Beiträge leisteten u. a. auch Max Planck (1907), der thermodynamische Überlegungen und das Prinzip der kleinsten Wirkung einbrachte; und Max von Laue (1911), der unter Weiterentwicklung von Hermann Minkowskis elegantem Raumzeitformalismus die Äquivalenz besonders klar darstellen konnte. ^{[11] [12]}

Diese Äquivalenz wurde ursprünglich auch „Trägheit der Energie“ genannt, da man jeder Form von Energie eine träge Masse $ E/c^{2}\,, $ die relativistische Masse, zuschrieb. Solch ein Wortgebrauch ist jedoch, wie im Artikel relativistische Masse erläutert, irreführend, denn die Trägheit eines schnell bewegten Teilchens hängt von seiner Bewegungsrichtung ab.

Die quantitative Übereinstimmung von Kernmassenunterschieden und Bindungsenergien konnte ab den 1930er Jahren gemessen werden.^[13][14] Heute ist die Gültigkeit der Äquivalenz von Masse und Energie experimentell mit einer Genauigkeit von etwa einem Zehnmillonstel bestätigt:^[15]

$ \left|{\frac {m\,c^{2}}{E_{\text{Ruhe}}}}-1\right|\leq (1{,}4\pm 4{,}4)\cdot 10^{-7} $

Einsteins Herleitung

Einstein kam 1905^[1] durch das folgende Gedankenexperiment auf den Zusammenhang von Masse und Energie. Ein ähnliches Gedankenexperiment hatte Poincaré 1900 entwickelt, aber nicht befriedigend klären können.^[10]

Um die folgenden Überlegungen einfach zu halten, benutzen wir als Längeneinheit die Strecke, die Licht in einer Sekunde zurücklegt, und nennen diese Länge eine Sekunde. In solchen Maßeinheiten ist die Lichtgeschwindigkeit eine Sekunde pro Sekunde, $ c=1\,. $

Aus der Elektrodynamik war bekannt, dass ein Lichtpuls nicht nur Energie $ E $ besitzt, sondern auch Impuls $ {\vec {p}} $ in Richtung des Lichtstrahls. In Maßeinheiten mit $ c=1 $ ist der Betrag des Impulses gleich der Energie

$ E=|{\vec {p}}|\,. $

Wenn nun ein ruhender Körper mit Energie $ {\mathcal {E}} $ und der Masse $ m $ zwei Photonen mit Energie $ E $ in entgegengesetzte Richtung ausstrahlt, so vermindert sich wegen der Erhaltung von Energie und Impuls seine Energie um $ 2E $, er bleibt aber in Ruhe und sein Impuls ist auch nachher gleich Null, weil die Impulse der Photonen entgegengesetzt gleich sind. Fassen wir die beteiligten Energien und Impulse übersichtlich in Spalten zusammen, so lautet die Energie-Impuls-Bilanz vor und nach dem Abstrahlen der Photonen

$ {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\text{Energie}}\\{\text{Impuls}}\end{pmatrix}}_{\text{vorher}}&={\begin{pmatrix}{\mathcal {E}}\\0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\text{Energie}}\\{\text{Impuls}}\end{pmatrix}}_{\text{nachher}}\\&={\begin{pmatrix}{\mathcal {E}}-2E\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}E\\E\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}E\\-E\end{pmatrix}}.\end{aligned}} $

Aus der Sicht eines in Richtung eines der beiden Photonen bewegten Beobachters bewegt sich der Körper vor und nach dem Abstrahlen der Photonen mit einer Geschwindigkeit $ v $. Vor dem Abstrahlen hat dieser Körper die Energie

$ {\mathcal {E}}+{\frac {1}{2}}mv^{2} $

(die Summe von Ruheenergie und kinetischer Energie) und einen Impuls $ \,p=mv $, zumindest wenn die Geschwindigkeit $ \,v $ so klein gegen die Lichtgeschwindigkeit ist, dass Newtons Mechanik zutrifft.

Das Photon, das der Beobachter mit dem Körper auf sich zukommen sieht, sieht er blauverschoben mit einer um den Dopplerfaktor $ \,1+v $ vergrößerten Energie und entsprechend vergrößertem Impuls.

Das Photon in Gegenrichtung ist für ihn rotverschoben und hat eine um den Dopplerfaktor $ \,1-v $ verminderte Energie und entsprechend verkleinerten Betrag des Impulses. Diese Gleichungen gelten wie Newtons Mechanik für kleine Geschwindigkeiten. Die Energie-Impuls-Bilanz für ein langsam bewegtes Teilchen vor und nach dem Aussenden der Photonen lautet also

$ {\begin{pmatrix}{\mathcal {E}}+{\frac {1}{2}}mv^{2}\\mv\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\mathcal {E}}'+{\frac {1}{2}}m'v^{2}\\m'v\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}(1+v)E\\(1+v)E\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}(1-v)E\\-(1-v)E\end{pmatrix}}. $

Dabei bezeichnet $ m' $ die Masse und

$ {\mathcal {E}}'+{\frac {1}{2}}m'v^{2} $

die Energie des Körpers nach dem Abstrahlen. Die erste Zeile dieser Gleichung, die Energie-Erhaltung, besagt, wenn wir Terme vernachlässigen, die quadratisch in der Geschwindigkeit sind,

$ {\mathcal {E}}'-{\mathcal {E}}=-2E, $

dass sich die Ruheenergie des Körpers beim Abstrahlen um $ 2E $ vermindert hat. In der zweiten Zeile besagt Impulserhaltung $ \,mv=m'v+2vE $, dass sich die Masse ebenso vermindert hat,

$ m'-m=-2E={\mathcal {E}}'-{\mathcal {E}}. $

Da sich (bis auf die einfachheitshalber weggelassenen Faktoren $ c $) die Masse so wie die Ruheenergie ändert, ist sie die Ruheenergie

$ \,E_{\text{Ruhe}}=m\,c^{2}\,. $

So schön Einsteins Gedankenexperiment ist, die Folgerung ist nicht zwingend: Kein stabiles Teilchen, kein Elektron, Proton oder Neutron, kann in Ruhe Photonen abstrahlen. Das ist physikalisch nur möglich, wenn man auf das Teilchen die dazu erforderliche Energie und den erforderlichen Impuls überträgt.

Es gibt aber auch einen logischen Einwand. Einsteins Überlegung zeigt nur, dass die Differenzen von Masse und Energie bis auf den Faktor $ c^{2} $ gleich sind. Das wäre auch der Fall, wenn zur Ruheenergie eine für jedes Teilchen charakteristische, von der Masse unabhängige Energie beitrüge,

$ \,E_{\text{Ruhe}}=m\,c^{2}+E_{\text{charakteristisch}}\,. $

Dass der Zusatzterm (der letzte Term in der vorigen Gleichung) verschwindet, und wie die Energie und der Impuls von der Geschwindigkeit abhängen, ergibt sich aus ihrem Transformationsverhalten (siehe Viererimpuls).

E = mc² und die Atombombe

Bei ionisierender Strahlung hatten Antoine Becquerel, Marie und Pierre Curie und Ernest Rutherford ab 1897 beobachtet, dass Kernreaktionen millionenfach energiereicher sind als chemische Reaktionen. Als Energiequelle wurde von Rutherford und Frederick Soddy (1903) ein in den Körpern befindliches, enormes Reservoir an latenter Energie vermutet, welches auch in normaler Materie vorhanden sein müsse. Rutherford (1904) spekulierte, dass man vielleicht eines Tages den Zerfall radioaktiver Elemente kontrollieren und aus einer geringen Menge Materie eine enorme Energiemenge freisetzen könnte. ^[16][17] Mit Einsteins Gleichung $ E_{\text{Ruhe}}=m\,c^{2} $ (1905) konnte man diese Energie an den unterschiedlichen Kernmassen ablesen, was in den 1930er Jahren tatsächlich nachgewiesen werden konnte.

Allerdings besagt die Gleichung nicht, wie man die Spaltung schwerer Atomkerne in Gang setzt. Entscheidend war die Beobachtung der induzierten Kernspaltung durch Otto Hahn und Fritz Straßmann und dass die dabei freiwerdenden Neutronen eine Kettenreaktion in angereichertem Uran auslösen können. Anders als populärwissenschaftliche Berichte behaupten^[18], spielte daher der Zusammenhang von Ruheenergie und Masse bei der Entwicklung der Atombombe („Manhattan-Projekt“) in den USA ab 1942 keine besondere Rolle.^[19] Albert Einstein beeinflusste die Entwicklung der Atombombe weniger durch seine physikalischen Erkenntnisse, sondern allenfalls politisch, nämlich durch seinen Brief an Präsident Roosevelt, in dem er für die Entwicklung der Atombombe durch die Amerikaner eintrat.

Trivia

• 1980 erschien das Lied "E=mc²" von Giorgio Moroder.
• 1985 erschien das Lied "E=mc²" von Big Audio Dynamite auf dem Album "This Is Big Audio Dynamite".
• 2008 erschien das Album "E=mc²" von Mariah Carey.
• 2008 erschien das Lied "E=mc²" von Ayreon auf dem Album "01011001".

Siehe auch

• Tests der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung
• Photonenwaage

Weblinks

Commons: Einstein-Formel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

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• Norbert Dragon, Geometrie der Relativitätstheorie
• Francisco Fernflores: The Equivalence of Mass and Energy. In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy
• Cornelius C. Noack, Was ist eigentlich eine 'Ruhemasse'?
• Wikibooks: Ruhemasse und relativistische Masse
• E=mc² – Eine Formel und ihre Geschichte. Allgemeinzugängliche Erklärung der Formel mit Grafiken

Einzelnachweise