Weyl-Quantisierung

Erweiterte Suche

Die Weyl-Quantisierung ist eine Methode in der Quantenmechanik, um systematisch einen quantenmechanischen Hermiteschen Operator umkehrbar auf eine klassische Verteilung im Phasenraum abzubilden. Daher wird sie auch Phasenraum-Quantisierung genannt.

Die dieser Quantisierungsmethode zugrundeliegende wesentliche Korrespondenzabbildung von Phasenraumfunktionen auf Operatoren im Hilbertraum wird Weyl-Transformation genannt. Sie wurde zuerst 1927 von Hermann Weyl[1] beschrieben.

Im Gegensatz zu Weyls ursprünglicher Absicht ein konsistentes Quantisierungsschema zu finden, bildet diese Abbildung nur eine Darstellungsänderung. Sie muss klassische und quantenmechanische Größen nicht verbinden: Die Phasenraum-Verteilung darf auch von der Planckschen Konstante h abhängen. In einigen bekannten Fällen, die einen Drehimpuls beinhalten ist das so.

Die Umkehrung dieser Weyl-Transformation ist die Wignerfunktion. Sie bildet aus dem Hilbertraum in die Phasenraumdarstellung ab. Dieser umkehrbare Wechsel der Darstellung erlaubt es, Quantenmechanik im Phasenraum auszudrücken, wie es in den 1940er von Groenewold und Moyal vorgeschlagen wurde.[2] [3]

Beispiel

Im folgenden wird die Weyl-Transformation am 2-dimensionalen Euklidschen Phasenraum dargestellt. Die Koordinaten des Phasenraums seien (q,p) ; ferner sei f eine Funktion, die überall im Phasenraum definiert ist. Die Weyl-Transformation von f ist durch den folgenden Operator im Hilbertraum gegeben (größtenteils analog zur Delta-Distribution):

$ \Phi [f] = \frac{1}{(2\pi)^2}\iint_{q,\,a} \iint_{p,\,b} f(q,p) \left(e^{i(a(Q-q) +b(P-p))}\right) dq\, dp\, da\, db. $

Nun werden die Operatoren P und Q als Generatoren einer Lie-Algebra, der Heisenberg-Algebra genommen:

$ [P,Q]=PQ-QP=-i\hbar,\, $

Dabei ist $ \hbar $ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum. Ein allgemeines Element einer Heisenberg-Algebra kann geschrieben werden als

$ aQ+bP-i\hbar z.\, $

Die Exponentialfunktion eines Elementes einer Lie-Algebra ist dann ein Element der korrespondierenden Lie-Gruppe:

$ g=e^{aQ+bP-i\hbar z}, $

ein Element der Heisenberg-Gruppe. Gegeben sei eine spezielle Gruppendarstellung Φ der Heisenberggruppe, dann bezeichnet

$ \Phi\left( e^{aQ+bP-i\hbar z} \right)\, $

das Element der entsprechenden Darstellung des Gruppenelements g.

Die Inverse der obigen Weylfunktion ist die Wignerfunktion, welche den Operator Φ zurück zur Phasenraumfunktion f bringt:

$ f(q,p)= 2 \int_{-\infty}^\infty dy~e^{2ipy/\hbar}~ \langle q-y| \Phi [f] |q+y \rangle. $

Im Allgemeinen hängt die Funktion f von der Planck-Konstante h ab und kann quantenmechanische Prozesse gut beschreiben, sofern sie mit dem unten aufgeführten Sternprodukt richtig zusammengesetzt ist.[4]

Zum Beispiel ist die Wignerfunktion eines quantenmechanischen Operators für ein Drehimpulsquadrat (L²) nicht identisch mit dem klassischen Operator, sondern enthält zusätzlich den Term $ - \frac{3}{2}\hbar^2 $, welcher dem nichtverschwindenden Drehimpuls des Grundzustands einer Bohrschen Umlaufbahn entspricht.

Eigenschaften

Die typische Darstellung einer Heisenberg-Gruppe erfolgt durch die Generatoren ihrer Lie-Algebra: Ein Paar selbstadjungierter Operator (hermitesch) auf einem Hilbertraum $ \scriptstyle \mathcal{H} $, so dass ihr Kommutator, ein zentrales Element der Gruppe, das Identitätselement auf dem Hilbertraum ergibt (die kanonische Vertauschungsrelation)

$ [P,Q]=PQ-QP=-i\hbar ~ \operatorname{Id}_\mathcal{H}, $

Der Hilbertraum kann als Menge von quadratisch integrierbaren Funktionen über der reellen Zahlengerade (ebene Wellen) oder einer beschränkteren Menge, wie beispielsweise des Schwartz-Raum angenommen werden. Abhängig vom beteiligten Raum, folgen verschiedene Eigenschaften:

  • Wenn f eine reellwertige Funktion ist, dann ist das Abbild der Weyl-Funktion Φ[f] selbst-adjungiert.
  • Wenn f ein Element des Schwartz-Raum ist, dann ist Φ[f] ein Spurklasseoperator.
  • Allgemeiner ist Φ[f] unbeschränkter dicht definierter Operator.
  • Für die Standarddarstellung der Heisenberg-Gruppe über den quadratisch integrierbaren Funktionen, entspricht die Funktion Φ[f] eins-zu-eins dem Schwartz-Raum (als Unterraum der quadratisch integrierbaren Funktionen).

Verallgemeinerungen

Die Weyl-Quantisierung wird in größerer Allgemeinheit in Fällen untersucht, wo der Phasenraum eine Symplektische Mannigfaltigkeit oder möglicherweise eine Poisson-Mannigfaltigkeit ist. Verwandte Strukturen sind zum Beispiel Poisson–Lie-Gruppen und die Kac-Moody-Algebren.

Siehe auch

Referenzen

  1. H.Weyl , "Quantenmechanik und Gruppentheorie", Zeitschrift für Physik, 46 (1927) pp. 1–46, doi.
  2. H.J. Groenewold, "On the Principles of elementary quantum mechanics",Physica,12 (1946) pp. 405–460. (engl.)
  3. J.E. Moyal, "Quantum mechanics as a statistical theory", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 45 (1949) pp. 99–124. (engl.)
  4. R. Kubo, "Wigner Representation of Quantum Operators and Its Applications to Electrons in a Magnetic Field", Jou. Phys. Soc. Japan,19 (1964) pp. 2127–2139, doi.

Diese Artikel könnten dir auch gefallen

Die letzten News aus den Naturwissenschaften

25.11.2021
Sonnensysteme | Exoplaneten
Wenig Kollisionsgefahr im Planetensystem TRAPPIST-1
Sieben erdgrosse Planeten umkreisen den Stern TRAPPIST-1 in nahezu perfekter Harmonie.
23.11.2021
Optik
„Maßgeschneidertes“ Licht
Ein Forscherteam entwickelt erstmals ein Lichtfeld, welches die Struktur des vierdimensionalen Raums widerspiegelt.
15.11.2021
Schwarze Löcher
Woher kommt das Gold?
Wie werden chemische Elemente in unserem Universum produziert?
08.11.2021
Teilchenphysik
Neue Einblicke in die Struktur des Neutrons
Sämtliche bekannte Atomkerne und damit fast die gesamte sichtbare Materie bestehen aus Protonen und Neutronen – und doch sind viele Eigenschaften dieser allgegenwärtigen Bausteine der Natur noch nicht verstanden.
08.11.2021
Physikdidaktik | Strömungsmechanik
Warum Teekannen immer tropfen
Strömungsmechanische Analysen der TU Wien beantworten eine alte Frage: Wie kommt es zum sogenannten „Teapot-Effekt“?
05.11.2021
Teilchenphysik | Thermodynamik
Elektronen-Familie erzeugt bisher unbekannten Aggregatzustand
Ein internationales Forschungsteam des Exzellenzclusters ct.
04.11.2021
Galaxien | Schwarze Löcher
Jet der Riesengalaxie M87
In verschiedenen Wellenlängen lässt sich ein gigantischer Teilchenstrahl beobachten, der von der Riesengalaxie M87 ausgestoßen wird.
04.11.2021
Galaxien
Am weitesten entfernter Nachweis von Fluor in sternbildender Galaxie
Eine neue Entdeckung gibt Aufschluss darüber, wie Fluor – ein Element, das in unseren Knochen und Zähnen als Fluorid vorkommt – im Universum entsteht.
02.11.2021
Monde | Kometen und Asteroiden
Planetologen erforschen schweres Bombardement des Mondes vor 3,9 Milliarden Jahren
Der Mond war vor 3,9 Milliarden Jahren einem schweren Bombardement mit Asteroiden ausgesetzt.
29.11.2021
Optik | Quantenoptik
Nur durch Billiardstel Sekunden getrennt
Ultrakurze Lichtblitze dauern weniger als eine Billiardstel Sekunde und haben eine wachsende technologische Bedeutung.