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Trägheitskraft

Trägheitskraft

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Ein Passagier in einem rotierenden Kettenkarussell wird durch die Zentrifugalkraft nach außen gedrängt.

Eine Trägheitskraft oder Scheinkraft ist diejenige Kraft, die auf einen Körper zusätzlich wirkt, falls man seine Bewegung[Anmerkung 1] nicht in einem Inertialsystem, sondern in einem beschleunigten Bezugssystem betrachtet.[1][2][3] Das kann bei einem beschleunigten Körper beispielsweise das Bezugssystem sein, das fest mit ihm verbunden ist. Trägheitskräfte sind proportional zur Masse des Körpers.

Der Begriff Trägheitskraft[4][5][6][7] oder Scheinkraft[8][9] wird auch unter Bezugnahme auf das D’Alembertsche Prinzip verwendet. Das Produkt aus Masse und (negativer) Beschleunigung im Inertialsystem wird als Kraft aufgefasst, die entgegengesetzt gleich groß wie die äußere Kraft ist und mit dieser im dynamischen Gleichgewicht steht. Sie wird als Trägheitskraft oder d'Alembertsche Trägheitskraft bezeichnet. Dadurch wird ein dynamisches Problem zu einem statischen Problem umformuliert. Das Prinzip spielt eine bedeutsame Rolle in der Technischen Mechanik, beispielsweise bei Mehrkörpersystemen oder beim Motorenbau. Die Trägheitskräfte werden dort auch Massenkräfte genannt.

Beispiele für Trägheitskräfte sind: In einem Kettenkarussell wirkt die Zentrifugalkraft von der Drehachse weg nach außen. In einem nach oben bzw. nach unten anfahrenden Fahrstuhl verstärkt oder verringert die Trägheitskraft die Einwirkung der Schwerkraft; ebenso im Riesenrad in der Nähe des unteren bzw. oberen Punktes. In einem anfahrenden bzw. bremsenden Auto wird man durch die Trägheitskraft in den Sitz bzw. in die Gurte gedrückt. Eine weitere bekannte Trägheitskraft ist die Corioliskraft.

Der Trägheitskraft liegt keine der Wechselwirkungen zugrunde, mit denen Körper aufeinander einwirken können,[10] d. h. das Prinzip Actio und Reactio gilt nicht für Trägheitskräfte.[3]:250 Die Trägheitskraft resultiert vielmehr daraus, dass sich kräftefreie Körper aufgrund des Trägheitssatzes im Inertialsystem unbeschleunigt bewegen, was aus Sicht eines beschleunigten Bezugssystems aber als beschleunigte Bewegung beobachtet wird. Diese Beschleunigung wird mit einer im beschleunigten Bezugssystem zusätzlich wirkenden Kraft erklärt, die im Inertialsystem nicht auftritt. Daher bezeichnet man diese Kraft auch als Scheinkraft.

Unterschiedliche Interpretationen

Es liegen unterschiedliche, zum Teil gegensätzliche Interpretationen von „Trägheitskräften“ vor. In vielen Lehrbüchern wird die Trägheitskraft ganz im Sinne einer bezugssystemabhängigen Scheinkraft beschrieben.[1][2][3][11][12] Einige Autoren verbinden dieses Konzept mit dem D'Alembertschen Prinzip, um ein statisches Gleichgewicht in einem beschleunigten Bezugssystem zu beschreiben.[12] Andererseits bezeichnen Autoren wie Lanczos die D'Alembertsche Trägheitskraft $ {\vec {F}}_{T}=-m\,{\vec {a}} $ als „wahre Trägheitskraft“, und unterscheiden sie von den „Scheinkräften“ in beschleunigten Bezugssystemen.[4] Gemäß Müller & Ferber ist der Begriff Scheinkraft irreführend, da er lediglich ein Ausdruck der Beschleunigung im Sinne der Kinematik ist, und keine Kraft.[13] Zu unterschiedlichen Deutungen der Trägheitskräfte, sowohl im beschleunigten Bezugssystem als auch nach D'Alembert, siehe Warren.[14]

In manchen Texten werden Trägheitskräfte und auch das D'Alembertsche Prinzip als die Folge des dritten newtonschen Axioms, actio und reactio, gedeutet.[15]:33 Beispielsweise übt ein Seil eine Zentripetalkraft auf eine Kugel aus, sodass diese auf eine Kreisbahn gezwungen wird, und umgekehrt zieht auch die Kugel am Seil. Diese Reaktionskraft der Kugel auf das Seil wird manchmal als „reaktive Zentrifugalkraft“ bezeichnet.[16] Andere wenden jedoch ein, dass diese Kraft nicht mit den in rotierenden Bezugssystemen auftretenden Trägheits- bzw. Scheinkräften verwechselt werden darf. Diese repräsentieren ein scheinbares Kräftegleichgewicht eines Körpers (nämlich die Kugel), und hängen von der Wahl des Bezugssystems ab. Dagegen stellen Reaktionskräfte im Sinne des dritten Gesetzes eine Wechselwirkung zwischen zwei unterschiedlichen Körpern (Seil und Kugel) dar, die unabhängig vom Bezugssystem auftritt.

Trägheitskraft im beschleunigten Bezugssystem

Notation

Um zwischen den Größen eines Objektes (z.B. Ort, Geschwindigkeit) in zwei Bezugssystemen zu unterscheiden, wird die normale Notation im Inertialsystem verwendet und das nichtinertiale Bezugssystem erhält den gleichen Buchstaben mit einem Apostroph (engl. prime). Letzteres wird dann auch als „gestrichenes Bezugssystem“ bezeichnet.[17]

Bedeutung
$ {\vec {r}} $ Position des Objektes in S (Inertialsystem).
$ {\vec {r}}' $ Position des Objektes in S' (Nicht-Inertialsystem).
$ {\vec {v}}={\dot {\vec {r}}} $ Geschwindigkeit des Objektes in S
$ {\vec {v}}'={\dot {{\vec {r}}'}} $ Geschwindigkeit des Objektes in S'
$ {\vec {a}}={\dot {\vec {v}}} $ Beschleunigung des Objektes in S
$ {\vec {a}}'={\dot {{\vec {v}}'}} $ Beschleunigung des Objektes in S'
$ {\vec {r}}_{B} $ Position des Ursprungs von S' in S
$ {\vec {v}}_{B}={\dot {\vec {r}}}_{B} $ Geschwindigkeit des Ursprungs von S' in S
$ {\vec {a}}_{B}={\dot {\vec {v}}}_{B} $ Beschleunigung des Ursprungs von S' in S
$ {\vec {\omega }} $ Winkelgeschwindigkeit des Systems S' in S
$ {\vec {\alpha }}={\dot {\vec {\omega }}} $ Winkelbeschleunigung des Systems S' in S

Geradlinig beschleunigtes Bezugssystem

Die Bewegung einer Person, etwa eines Insassen eines beschleunigenden oder bremsenden Autos oder des Fahrgastes eines beschleunigenden oder bremsenden Eisenbahnzuges, kann in einem Inertialsystem unter Benutzung der newtonschen Bewegungsgleichung beschrieben werden. Wird derselbe Vorgang hingegen in einem beschleunigten, fahrzeugfesten Bezugssystem beschrieben, müssen Trägheitskräfte im Sinne von Scheinkräften eingeführt werden, damit die newtonsche Bewegungsgleichung auch in diesem Bezugssystem angewendet werden kann.[11]

Im Inertialsystem wird eine beschleunigte Bewegung durch die Einwirkung der äußeren Kraft $ {\vec {F}} $ verursacht. Beispielsweise ist eine Person der Kraft des Sitzes in einem beschleunigenden Auto unterworfen. Wird hingegen das fahrzeugfeste Bezugssystem, in dem die Person ruht, zur Beschreibung des Vorgangs benutzt, dann kann die Kraft des Sitzes nicht die einzige Kraft sein, die auf die Person wirkt: Um die Person als ruhend anzusehen, muss ein Kräftegleichgewicht vorliegen. Es wird also eine entgegengesetzte Kraft $ {\vec {F}}_{T}=-m\,{\vec {a}}_{B} $ angenommen, welche die Federkraft (scheinbar) ausgleicht, sodass $ {\vec {F}}+{\vec {F}}_{T}={\vec {0}} $ gilt, wobei $ {\vec {a}}_{B} $ die Beschleunigung des Bezugssystems ist. Da die Kraft $ {\vec {F}}_{T} $ proportional zur trägen Masse der Person und zur Beschleunigung ist, wird sie als Trägheitskraft bezeichnet. Da sie aber nur auftritt, weil statt eines Inertialsystems ein beschleunigtes Bezugssystem benutzt wird, ist sie auch eine Scheinkraft. Wenn von vornherein kein Sitz vorhanden wäre, das heißt, wenn die Person nicht mit dem Fahrzeug verbunden ist, so verbleibt sie im Inertialsystem in Ruhe. Im fahrzeugfesten Bezugssystem hingegen würde die Person beschleunigt. Ein Beobachter im fahrzeugfesten System könnte hierfür eine Scheinkraft $ {\vec {F}}_{T}=-m\,{\vec {a}}_{B} $ verantwortlich machen. Analog dazu kann auch der freie Fall behandelt werden: Im Inertialsystem liegt die gleichförmige Beschleunigung einer Person durch die Gravitationskraft $ {\vec {F}}=m\,{\vec {g}} $ vor. Hingegen wird im frei fallenden Bezugssystem, in dem die Person ruht, zusätzlich die Trägheitskraft $ {\vec {F}}_{T}=-m\,{\vec {g}} $ eingeführt, sodass $ {\vec {F}}+{\vec {F}}_{T}=0 $ gilt.[12]

Für einen stehenden Fahrgast in einer S-Bahn, beispielsweise in einem Triebwagen der DB-Baureihe 481, die mit 1,3 m/s² beschleunigt, addiert sich zu der nach unten gerichteten Gewichtskraft die nach hinten gerichtete Trägheitskraft, so dass er das Gefühl hat, sich auf einer schiefen Ebene zu befinden, die mit 13 % Steigung nach vorne ansteigt. Um nicht umzukippen, muss er sich festhalten oder sein Gewicht verlagern. Erreicht die S-Bahn ihre Reisegeschwindigkeit, entfällt die Trägheitskraft, und auch der Boden scheint wieder eben zu werden. Der Fahrgast muss dies wiederum ausgleichen, um nicht aus dem Gleichgewicht zu kommen.

Rotierendes Bezugssystem

→ Hauptartikel: Zentrifugalkraft und Corioliskraft

Rotierende Bezugssysteme sind beispielsweise das mit der Drehscheibe eines Karussells mitbewegte System, das mit einem Fahrzeug während einer Kurvenfahrt mitbewegte System oder das mit der Erdoberfläche mitbewegte System. Will man die Bewegung eines Körpers in einem gleichmäßig rotierenden Bezugssystem beschreiben, treten zwei Arten von Trägheitskräften auf.

  • Die Flieh- oder Zentrifugalkraft. wirkt auf jeden Körper, der sich nicht genau auf der Drehachse des rotierenden Bezugssystems befindet. Sie ist proportional zum Abstand des Körpers von der Drehachse und zum Quadrat der Winkelgeschwindigkeit des Bezugssystems. Sie ist stets nach außen, also von der Drehachse weg gerichtet, und bewirkt, dass ein (relativ zum rotierenden Bezugssystem ruhender) Körper gegen eine äußere Wand gedrückt wird.
  • Die Corioliskraft. wirkt zusätzlich zur Zentrifugalkraft auf Körper, die sich relativ zu einem rotierenden Bezugssystem bewegen. und ist unabhängig von seinem Ort innerhalb des Systems. Sie ist proportional zur Geschwindigkeit des Körpers (gemessen im rotierenden System), zur Winkelgeschwindigkeit der Rotation und zum Sinus des Winkels zwischen der Bewegungsrichtung und der Drehachse. Sie ist stets senkrecht zur Geschwindigkeit des Körpers (bezogen auf das rotierende System) und senkrecht zur Drehachse gerichtet.

Formeln

Es sei ein Inertialsystem $ S $ und ein darin beschleunigtes Bezugssystem $ S' $ gegeben. Die kinematischen Größen Position $ {\vec {r}} $, Geschwindigkeit $ {\vec {v}} $ und Beschleunigung $ {\vec {a}} $ bezüglich eines Inertialsystems können durch die Bewegung des Bezugssystems und durch die Relativbewegung angegeben werden.[12] Es sei $ {\vec {r}}_{B},{\vec {v}}_{B},{\vec {a}}_{B} $ die Position, Geschwindigkeit bzw. Beschleunigung des Bezugssystems und $ {\vec {r}}{\;'},{\vec {v}}{\;'},{\vec {a}}{\;'} $ die Position, Geschwindigkeit bzw. Beschleunigung des Objekts relativ zum Bezugssystem.

Die Impulsänderung ist proportional zur als bekannt vorausgesetzten äußeren Kraft $ {\vec {F}} $. Bei konstanter Masse vereinfacht sich der Impulssatz, der in dieser Form nur im Inertialsystem gilt zu:

$ m{\vec {a}}={\vec {F}} $

Die Gleichung kann nach der unbekannten Beschleunigung aufgelöst werden.

In manchen Anwendungen kann es sinnvoll sein eine analoge Gleichung aufzustellen, bei der auf der linken Seite die Relativbeschleunigung steht.

$ m{\vec {a}}{\;'}={\vec {F}}{\;'}={\vec {F}}+{\vec {F}}_{T} $

Der Term $ {\vec {F}}_{T} $ wird als Trägheitskraft oder Scheinkraft bezeichnet, die berücksichtigt werden muss, wenn man den Impulssatz im beschleunigten Bezugssystem anwendet.

Geradlinig beschleunigtes Bezugssystem

kinematische Größen in S
Position $ {\vec {r}}={\vec {r}}_{B}+{\vec {r}}{\;'} $
Geschwindigkeit $ {\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\vec {v}}_{B}+{\vec {v}}{\;'} $
Beschleunigung $ {\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\vec {a}}_{B}+{\vec {a}}{\;'} $

Bei der Galilei-Transformation ($ {\vec {a}}_{B} $ = 0) zwischen zwei Inertialsystemen gelten die newtonschen Gesetze in beiden Inertialsystemen in gleicher Form, sie sind invariant gegenüber der Transformation. Bei der Transformation zu einem beschleunigten Bezugssystem gilt dies nicht, da zusätzlich die Beschleunigung des Bezugssystems $ {\vec {a}}_{B} $ berücksichtigt werden muss. Wird trotzdem $ {\vec {F}}{\;'}=m{\vec {a}}{\;'} $ in $ S' $ angewendet, ergibt sich aus obigen Beschleunigungen:[12]

$ {\vec {F}}=m{\vec {a}}=m{\vec {a}}{\;'}+m{\vec {a}}_{B} $

daraus folgt:

$ m{\vec {a}}{\;'}={\vec {F}}-m{\vec {a}}_{B}={\vec {F}}+{\vec {F}}_{T} $

Allgemein beschleunigtes Bezugssystem

Bei der Ableitung eines Vektors, der in einem rotierenden Bezugssystem gegeben ist, muss die Winkelgeschwindigkeit $ {\vec {\omega }} $ und die Winkelbeschleunigung $ {\dot {\vec {\omega }}} $ des Bezugssystems berücksichtigt werden. Die kinematischen Beziehungen lauten:

kinematische Größen in S
Position $ {\vec {r}}={\vec {r}}_{B}+{\vec {r}}{\;'} $
Geschwindigkeit $ {\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\vec {v}}_{B}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}{\;'}+{\vec {v}}{\;'} $
Beschleunigung $ {\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\vec {a}}_{B}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}{\;'})+{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}{\;'}+2\,{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}{\;'}+{\vec {a}}{\;'} $

Setzt man die Absolutbeschleunigung $ {\vec {a}} $ in die Newtonsche Bewegungsgleichung ein, ergibt sich:

$ m{\vec {a}}_{B}+m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}{\;'})+m{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}{\;'}+2m\,{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}{\;'}+m{\vec {a}}{\;'}={\vec {F}} $

Aufgelöst nach dem Term mit der Relativbeschleunigung folgt:

$ m{\vec {a}}{\;'}={\vec {F}}-m{\vec {a}}_{B}\underbrace {-m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}{\;'})} _{{\vec {F}}_{\mathrm {zentrifugal} }}\underbrace {-m{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}{\;'}} _{{\vec {F}}_{\mathrm {Euler} }}\underbrace {-2m\,{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}{\;'}} _{{\vec {F}}_{\mathrm {Coriolis} }}={\vec {F}}+{\vec {F}}_{T} $

Der Term $ {\vec {F}}_{\mathrm {T} }=-m{\vec {a}}_{B}+{\vec {F}}_{\mathrm {zentrifugal} }+{\vec {F}}_{\mathrm {Euler} }+{\vec {F}}_{\mathrm {Coriolis} } $ ist die Scheinkraft, die berücksichtigt werden muss, wenn der Impulssatz im beschleunigten Bezugssystem angewandt wird.

Der Ausdruck $ -m\;{\vec {a}}_{B} $ rührt aus der Beschleunigung des Bezugssystems her.[18] Weiter sind $ {\vec {F}}_{\mathrm {zentrifugal} }=-m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}{\;'}) $ die Zentrifugalkraft. $ {\vec {F}}_{\mathrm {Euler} }=-m{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}{\;'} $ wird als Eulerkraft[4]:103 oder „lineare Beschleunigungskraft“[19] bezeichnet. $ {\vec {F}}_{\mathrm {Coriolis} }=-2m({\vec {\omega }}\times {\vec {v}}{\;'}) $ ist die Corioliskraft.

D'Alembertsche Trägheitskraft

Dynamisches Gleichgewicht

Das zweite newtonsche Gesetz lautet:

$ {\vec {F}}=m\,{\vec {a}} $

In dieser Form gilt das newtonsche Gesetz nur in einem Inertialsystem.[20] Die Gleichung wird umgeformt in:

$ {\vec {F}}-m\,{\vec {a}}={\vec {0}}\, $ oder $ {\vec {F}}+{\vec {F}}_{T}={\vec {0}} $

Der Term $ {\vec {F}}_{T}=-m\,{\vec {a}} $ wird gemäß dem D’Alembertschen Prinzip als Trägheitskraft aufgefasst, die mit der äußeren Kraft $ {\vec {F}} $ im Gleichgewicht steht. Formal ist die Gleichung nicht von einem statischen Gleichgewicht zu unterscheiden. Die Tatsache dass $ F_{T} $ durch Multiplikation mit der Masse aus der Beschleunigung im Inertialsystem hervorgegangen ist, unterscheidet die Trägheitskraft aber eindeutig von der äußeren Kraft.

Allgemein besagt das D'Alembertsche Prinzip, dass im dynamischen Gleichgewicht die Summe aller an einem Körper angreifenden Kräfte gleich Null wird, wenn die Trägheitskräfte mit eingeschlossen werden. Das D'Alembertsche Prinzip ermöglicht somit die Beschreibung des Kräftegleichgewichts von äußeren Kräften und Trägheitskräften in einem mechanischen System. Es erweitert das Prinzip der virtuellen Arbeit von der Statik auf die Dynamik, womit das dynamische Problem zu einem statischen Problem umformuliert wird. Es spielt eine wichtige Rolle in der Technischen Mechanik.[15][4]:88 Es kann auch als Vorläufer des starken Äquivalenzprinzips verstanden werden, das grundlegend für die Allgemeine Relativitätstheorie ist.[4]:99

Darstellungen

Gegen dieses Prinzip könnte eingewendet werden, dass es nicht sinnvoll ist, bei einem (bezüglich eines Inertialsystems) beschleunigten Körper von einem statischen Kräftegleichgewicht zu sprechen. Gemäß Cornelius Lanczos kann dieser Einwand auf zwei Arten zurückgewiesen werden:[4]:89 Einerseits ist Bewegung ein relatives Phänomen, und in einem mitbeschleunigten Bezugssystem ist der Körper tatsächlich in Ruhe. Darüber hinaus richtet sich das Prinzip nicht auf die Bewegungen des Körpers, sondern auf Kräfte. Das Gleichgewicht in einem System kann somit ohne Bezugnahme auf den Bewegungszustand des betrachteten Körpers behandelt werden. Da es sich auf virtuelle Arbeit bezieht, ist es gleichermaßen gültig für ruhende und bewegte Körper. Das bedeutet gemäß Lanczos, dass auch in Inertialsystemen von einer „wahren“ D'Alembertschen Trägheitskraft, im Gegensatz zu obigen Darstellungen, gesprochen werden kann. Darüber hinaus ermöglicht es die Beschreibung von Vorgängen in beschleunigten Bezugssystemen.[4]:100 Hier müssen die Anteile der Trägheitskraft berücksichtigt werden, welche aus der Bewegung des Bezugssystems folgen. Deswegen werden sie auch als Scheinkräfte bezeichnet.[4]:96

In einigen Darstellungen wird die D'Alembertsche Trägheitskraft $ {\vec {F}}_{T}=-m\,{\vec {a}} $ als formale Scheinkraft bezeichnet, um dynamische in statische Probleme umzuwandeln. Als Scheinkraft ist sie im Widerspruch zu actio und reactio, da zu ihr keine Gegenkraft existiert.[7][21] Die Bezeichnung Scheinkraft wird auch damit begründet, dass die Trägheitskraft der Definition von Newton, was unter einer wirkenden Kraft zu verstehen ist,[22] nicht genüge.[10]:246

Es wird argumentiert, dass äußere Kräfte von anderen Körpern übertragen und die inneren Kräfte letztlich durch äußere Kräfte hervorgerufen werden. Die Trägheitskraft hingegen würde vom Körper selbst entwickelt, sofern er eine Krafteinwirkung eines anderen Körpers erfährt. Sie wird deshalb auch „Hilfskraft“ oder „gedachte Kraft“ genannt.[23]

Darüber hinaus wird in einigen Abhandlungen die Auffassung vertreten, dass die D'Alembertsche Trägheitskraft ein statisches Kräftegleichgewicht in einem beschleunigten Bezugssystem beschreibt, die D'Alembertsche Trägheitskraft also als Scheinkraft im körperfesten Bezugssystem verstanden werden kann.[24][25][12]

Trägheitskraft und Machsches Prinzip

Eine mögliche Formulierung des nach Ernst Mach benannten Machschen Prinzips lautet:

„Es gibt keinen absoluten Raum. Die Gesetze der Mechanik müssen so abgefaßt werden, daß nur die Relativbewegungen aller im Weltall verteilten Massen eine Rolle spielen. Die Trägheit einer Masse ist die Reaktion auf die Wechselwirkung mit allen übrigen Massen im Universum.“[26]

Damit haben prinzipiell gesehen auch Trägheitskräfte ihren physikalischen Ursprung in der Wechselwirkung mit anderen Massen. Inwieweit das Machsche Prinzip mit der Relativitätstheorie Albert Einsteins in Einklang zu bringen ist bzw. wo genau Differenzen bestehen, ist umstritten.[26]

Gravitationskraft als Trägheitskraft

Siehe auch: Gravitation und allgemeine Relativitätstheorie

Auch die Gravitationskraft hat Eigenschaften von Trägheitskräften: Sie ist proportional zur Masse eines Körpers, hängt nur von dessen Ort ab, ansonsten aber von keinen anderen Eigenschaften des Körpers. Tatsächlich kann man in einem Gravitationsfeld, jedenfalls in einem hinreichend kleinen Raumgebiet, stets von einem ruhenden Bezugsystem zu einem frei fallenden Bezugsystem übergehen, in dem die dann auftretenden Trägheitskräfte die Gravitationskräfte gerade kompensieren. In diesem Bezugsystem müssen somit weder Gravitations- noch Trägheitskräfte betrachtet werden.

Diese Beobachtung lässt sich auch umdeuten, indem man das frei fallende Bezugsystem als Inertialsystem definiert, so dass das ruhende Bezugsystem kein Inertialsystem mehr ist, da es nun relativ zu einem Inertialsystem beschleunigt ist. Die in dem ruhenden System auftretenden Gravitationskräfte können dann als Trägheitskräfte interpretiert werden. Auf dieser Feststellung beruht das Äquivalenzprinzip der allgemeinen Relativitätstheorie. Sie erklärt die Gravitationskraft als eine Erscheinung, die wie eine Trägheitskraft nur in Bezugsystemen auftritt, die keine Inertialsysteme sind.

Für diese Beschreibung der Gravitation muss allerdings das Prinzip fallengelassen werden, dass Inertialsysteme global definiert werden können, also im Prinzip das ganze Universum erfassen, und dass sich diese stets relativ zueinander gleichförmig bewegen. Dies gilt nur noch lokal, also in einem hinreichend kleinen Bereich von Raum und Zeit, und führt außerdem zu dem Schluss, dass Raum und Zeit durch eine vierdimensionale, gekrümmte Mannigfaltigkeit beschrieben werden müssen.

Ebenso wird erklärt, warum ein Fahrgast in einem bremsenden Zug das gleiche Erlebnis hat wie in einem leicht nach vorne gekippten Wagen. Wird ein Wagen nach vorne gekippt, so wirkt die Gravitationskraft nicht mehr senkrecht auf den Boden, sondern (wenn man weiter den Wagen als Bezugsystem verwendet) schräg nach vorne. Um ruhig stehen zu können, muss man sich entsprechend nach hinten neigen oder festhalten. In einem bremsenden Zug ist das genauso. Hier ist es die Summe der Trägheits- und Gravitationskräfte, also der nach unten gerichteten Gravitationskraft und der nach vorne gerichteten Trägheitskraft, die eine schräg nach vorne gerichtete Gesamtkraft ergeben. Fasst man die Gravitationskraft auch als Trägheitskraft auf, ist die Erklärung in beiden Fällen die gleiche.

Anwendung

Ein Fliehkraftregler funktioniert aufgrund der Zentrifugalkraft.
Spiralförmige Tief- und Hochdruckgebiete aufgrund der Corioliskraft

Die Funktionsweise von Zentrifugen und Fliehkraftreglern kann mit der Zentrifugalkraft erklärt werden. Die Spiralform von Tief- und Hochdruckgebieten dagegen kann durch die Corioliskraft erklärt werden: Wind, der vom Hoch- zum Tiefdruckgebiet zieht, wird von der Corioliskraft abgelenkt, so dass sich auf der Nordhalbkugel der Wind gegen den Uhrzeigersinn um ein Tiefdruckgebiet bewegt und auf der Südhalbkugel mit dem Uhrzeigersinn.[27] Auch die stärkere Erosion einer Seite von Flussbetten kann durch die Corioliskraft erklärt werden: Baers Gesetz.[28]

Literatur

  • Lev D. Landau, E. M. Lifschitz, Paul Ziesche: Lehrbuch der theoretischen Physik: Mechanik. Harri Deutsch Verlag, 1997, ISBN 3-8171-1326-9, S. 155 ff. (online)

Anmerkungen

  1. ↑ "Bewegung" kann hier auch Ruhe bedeuten.

Einzelnachweise

  1. ↑ 1,0 1,1 Dieter Meschede: Christian Gerthsen, Dieter Meschede (Hrsg.): Gerthsen Physik, 24. Auflage, Gabler Wissenschaftsverlage 2010, ISBN 978-3-642-12893-6, S. 41–42. (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche) „Kräfte, die dadurch entstehen, dass man den Vorgang in einem bestimmten Bezugssystem beschreibt, und die in einem anderen Bezugssystem nicht vorhanden wären: Trägheitskräfte...Diese gebräuchliche aber etwas irreführende Einstufung der Kraft als Scheinkraft ändert allerdings nichts an ihren realen, oft katastrophalen Folgen.“
  2. ↑ 2,0 2,1 Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme. Springer 2008, ISBN 978-3-540-79294-9, S. 87ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche) „...um seine Beobachtung in einem beschleunigten Bezugssystem zu beschreiben, [muss er] eine Kraft F=ma einführen, die er Scheinkraft nennt, weil er weiß dass dies keine "echte" Kraft ist sondern nur die Beschreibung einer scheinbaren Beschleunigung a der Kugel, bezogen auf ein mit -a beschleunigtes Bezugssystem. Oft wird auch die Bezeichnung Trägheitskraft verwendet...“
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 Ludwig Bergmann, Clemens Schaefer: Lehrbuch Der Experimentalphysik: Mechanik, Relativität, Wärme, Band 1, 11. Auflage, Walter de Gruyter 1998, ISBN 3-11-012870-5, S. 240ff: (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche) „In beschleunigten Bezugssystemen treten sogenannte Trägheitskräfte oder Scheinkräfte auf, die ihre Ursache nicht in materiellen Körpern haben, wie etwa die Gravitation oder die elektromagnetische Kraft, sondern allein in der Beschleunigung gegenüber dem Inertialsystem der fernen Galaxien.“
  4. ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 Cornelius Lanczos: The Variational Principles of Mechanics. Courier Dover Publications, New York 1986, ISBN 0-486-65067-7, S. 88–110. (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche). S. 91: „Accordingly, the force of inertia I has to be defined as the negative rate of change of momentum: I=-d/dt(mv) ... The definition of the force of inertia requires "an absolute reference system" in which the acceleration is measured. This is an inherent difficulty of Newtonian mechanics, keenly felt by Newton and his contemporaries. The solution of this difficulty came in recent times through Einstein's great achievement, the Theory of General Relativity.“
  5. ↑ Martin Mayr: Technische Mechanik: Statik, Kinematik - Kinetik - Schwingungen, Festigkeitslehre, 6. überarbeitete Auflage, Hanser 2008, ISBN 978-3-446-41690-1: (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche) „Nach D'Alembert fassen wir den Ausdruck $ m{\vec {a}} $ in Bewegungsgesetz (8.1) als Hifskraft auf und nennen sie Trägheitskraft“
  6. ↑ Werner Roddeck: Einführung in die Mechatronik 1997, ISBN 3-519-06357-3: (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche) „Den Term $ -m\,{\ddot {\vec {r}}} $ kann man als Kraft (Trägheitskraft) deuten.“
  7. ↑ 7,0 7,1 Dietmar Gross, Werner Hauger, Jarg Schrader, Wolfgang A. Wall: Technische Mechanik: Band 3: Kinetik, 10. Auflage, Gabler Wissenschaftsverlage 2008, S. 191. (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche): „Wir schreiben nun F-ma=0 und fassen das negative Produkt aus der Masse m und der Beschleunigung a formal als eine Kraft auf, die wir...D'Alembertsche Trägheitskraft F_T nennen: F_T=-ma. Diese Kraft ist keine Kraft im Newtonschen Sinne, da zu ihr keine Gegenkraft existiert (sie verletzt das Axiom actio=reactio!); wir bezeichnen sie daher als Scheinkraft.“
  8. ↑ Christoph Woernle: Mehrkörpersysteme: Eine Einführung in die Kinematik und Dynamik von Systemen starrer Körper. Springer 2011, ISBN 978-3-642-15981-7 (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche)
  9. ↑ Rolf Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik - Dynamik: Eine anschauliche Einführung. Springer 2012, ISBN 978-3-642-19837-3 (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche)
  10. ↑ 10,0 10,1 Bruno Assmann, Peter Selke: Technische Mechanik. Band 3: Kinematik und Kinetik. 15. Auflage. Oldenbourg Verlag, 2010, ISBN 978-3-486-59751-6, S. 133. (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche) Referenzfehler: Ungültiges <ref>-Tag. Der Name „ass“ wurde mehrere Male mit einem unterschiedlichen Inhalt definiert.
  11. ↑ 11,0 11,1 Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Scheinkräfte. In: Vorlesungen über Physik. Band I: Hauptsächlich Mechanik, Strahlung, Wärme. Oldenbourg 2001, ISBN 3-486-25680-7, S. 187–188. (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche)
  12. ↑ 12,0 12,1 12,2 12,3 12,4 12,5 Ekbert Hering, Rolf Martin, Martin Stohrer: Physik für Ingenieure, 11. Auflage, Springer 2012, ISBN 978-3-642-22568-0, S. 51–52. (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche)
  13. ↑ Wolfgang H. Müller, Ferdinand Ferber: Technische Mechanik für Ingenieure, 3. Auflage, Hanser Verlag 2008, S. 219. (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche)
  14. ↑ J. W. Warren: Understanding Force. John Murray 1979, ISBN 0-7195-3564-6 Deutsche Übersetzung: Verständnisprobleme beim Kraftbegriff S. 15 ff.
  15. ↑ 15,0 15,1 Hans J. Paus: Physik in Experimenten und Beispielen. 3., aktualisierte Auflage. Hanser Verlag 2007, ISBN 978-3-446-41142-5 (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche)
  16. ↑ Delo E. Mook, Thomas Vargish: Inside relativity. Princeton NJ: Princeton University Press 1987, S. 47. (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche)
  17. ↑ Rainer Müller: Klassische Mechanik: Vom Weitsprung zum Marsflug. Walter de Gruyter 2010, ISBN 978-3-11-025003-9 (Zugriff am 15. August 2012), S. 347.
  18. ↑ Vereinzelt wird die Bezeichnung „Einsteinkraft“ verwendet, die in anderem Kontext aber gänzlich anders gebraucht wird: Verwendung des Begriffs Einsteinkraft (S. 5)
  19. ↑ Eckhard Rebhan: Theoretische Physik I. Heidelberg · Berlin: Spektrum 1999, ISBN 3-8274-0246-8, S. 66.
  20. ↑ Gerhard Knappstein: Kinematik und Kinetik, 2. Auflage, Harri Deutsch Verlag 2004, ISBN 3-8171-1738-8, S. 68. (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche)
  21. ↑ Rolf Isermann: Mechatronische Systeme: Grundlagen, 2. Auflage, Gabler Wissenschaftsverlage 2004, ISBN 3-540-32336-8, S. 124. (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche)
  22. ↑ Bruno Assmann, Peter Selke: Technische Mechanik. Band 3: Kinematik und Kinetik. 15. Auflage. Oldenbourg Verlag, 2010, ISBN 978-3-486-59751-6, S. 133. (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche) „Newton hat als erster versucht, die Physik systematisch aufzubauen. An den Anfang seines (...) Hauptwerkes (...) stellt er vier Definitionen: (...) Definition 4: Eine wirkende Kraft ist das gegen einen Körper ausgeübte Bestreben, seinen Bewegungszustand zu ändern, entweder den der Ruhe oder den der gleichförmigen geradlinigen Bewegung.“
  23. ↑ Alfred Böge: Vieweg Handbuch Maschinenbau: Grundlagen und Anwendungen der Maschinenbau-Technik, 18. Auflage, Gabler Wissenschaftsverlage 2007, ISBN 978-3-8348-0110-4, S. 17. (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche)
  24. ↑ Ulrich Harten: Physik: Eine Einführung für Ingenieure und Naturwissenschaftler, 5. Auflage, Gabler Wissenschaftsverlage 2011, ISBN 978-3-642-19978-3, S. 69–72. (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche)
  25. ↑ Ulrich Leute: Physik und ihre Anwendungen in Technik und Umwelt, 2. Auflage, Hanser Verlag 2004, S. 36–38. (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche)
  26. ↑ 26,0 26,1 Eckhard Rebhan: Theoretische Physik: Relativitätstheorie und Kosmologie, S. 119–182, Springer 11. November 2011, ISBN 978-3-8274-2314-6 (Zugriff am 19. Januar 2013)
  27. ↑ Douglas C. Giancoli: Physik: Lehr- und Übungsbuch. Pearson Deutschland October 2010, ISBN 978-3-86894-023-7 (Zugriff am 1. Mai 2012), S. 393.
  28. ↑ The Wonders Of Physics. World Scientific 2004, ISBN 981-256-056-4 (Zugriff am 1. Mai 2012), S. 48.

Weblinks

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News mit dem Thema Trägheitskraft

17.12.2018
Festkörperphysik
Träge Miniroboter fliegen aus der Kurve
Forscher der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf (HHU) nutzen einfache, angetriebene Miniroboter, um die Bewegung kleiner aktiver Teilchen wie Bakterien in einem Medium zu studieren. In der Ausgabe der Zeitschrift Nature Communications vom 4.