Tellegen-Theorem

Das Tellegen-Theorem (entwickelt von B. D. H. Tellegen) wird vor allem in der digitalen Signalverarbeitung für den Entwurf von Filtern eingesetzt. In seiner Reinform handelt es sich bei dem Theorem um eine Art Erhaltungssatz, es lassen sich aus ihm jedoch mehrere Beziehungen zwischen Signalflussgraphen ableiten.

Das Theorem

Es sind zwei Systeme S und S', die durch Signalflussgraphen beschrieben werden, gegeben. Diese müssen zunächst nicht unbedingt linear sein, haben aber dieselbe Anzahl von Knoten, nämlich N. Die Knotensignale werden mit $ w_{k} $, bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): w'_k , die Signale der Pfade zwischen Knoten i und j mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s_{ij} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s'_{ij} und die Eingangssignale mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_k bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x'_k bezeichnet. Das Tellegen’sche Theorem besagt dann:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sum_{k=1}^N \sum_{j=1}^N (w'_k.s_{jk} - w_k.s'_{jk}) + \sum_{k=1}^N(w_k.x'_k - w'_k.x_k) = 0

Die linke Summe enthält nur „interne“ Vorgänge, während die rechte Summe nur die Eingangssignale behandelt. Aus dieser Form lässt sich noch keine Aussage ableiten, es müssen konkrete Fälle betrachtet werden.

Herleitung

Wir betrachten zunächst nur die Knotensignale in der vorerst sinnlos und trivial erscheinenden Identität

$ \sum _{k=1}^{N}(w_{k}\cdot w_{k}'-w_{k}'\cdot w_{k})=0 $

Für die Knotensignale lässt sich einsetzen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): w_k = \sum_{j=1}^N s_{jk} + x_k bzw.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): w'_k = \sum_{j=1}^N s'_{jk} + x'_k

Einsetzen und Aufteilen der Summe führt genau auf obige Form.

LTI Fall

Sind die Übertragungsfunktionen der Pfade in beiden Systemen linear und zeitinvariant, dann lässt sich das Theorem auf eine einfachere Form umschreiben. Es werden zunächst die Zeitsignale durch ihre z-Transformierten ersetzt. Jedes Pfadsignal ist nun als Signal des Stammknotens multipliziert mit der Übertragungsfunktion des Pfades Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F_{ij} darstellbar.

$ w_{k}[n]\rightarrow W_{k}(z) $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_k[n] \rightarrow X_k(z)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s_{ij}[n] \rightarrow W_i(z).F_{ij}(z)

Das Theorem kann nun umgeschrieben werden zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sum_{k=1}^N \sum_{j=1}^N W'_j.W_k.(F'_{jk} - F_{kj}) + \sum_{k=1}^N(W_k.X'_k - W'_k.X_k) = 0

Hieraus können nun relativ einfach Zusammenhänge zwischen den Systemen abgeleitet werden.

Transposition

Ist das zu vergleichende System S' das zu S transponierte System Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S^T , und haben die Systeme nur jeweils einen Eingang und einen Ausgang, dann haben sie die gleiche Übertragungsfunktion. Dies soll nun mittels des Tellegen-Theorems für lineare Systeme bewiesen werden.

Das transponierte System entsteht aus S, indem die Eingangs- zu den Ausgangsknoten werden und umgekehrt. Außerdem werden alle Pfade (bei gleichbleibender Pfadübertragungsfunktion) umgedreht, d. h.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F^T_{ij} = F_{ji} .

Einsetzen dieser Bedingung in das Theorem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sum_{k=1}^N \sum_{j=1}^N W^T_j.W_k.(F^T_{jk} - F_{kj}) + \sum_{k=1}^N(W_k.X^T_k - W^T_k.X_k) = 0 lässt die linke Summe wegfallen und es bleibt

$ \sum _{k=1}^{N}(W_{k}.X_{k}^{T}-W_{k}^{T}.X_{k})=0 $

stehen. Es wird nun weiter angenommen, dass das System S einen Eingangsknoten (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): w_a ) und einen Ausgangsknoten (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): w_b ) besitzt. Das Transponierte System hat dann den Eingangsknoten bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): w^T_b und den Ausgangsknoten bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): w^T_a . Die verbliebene Summe reduziert sich dann auf

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W_b.X^T_b - W^T_a.X_a = 0

Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): X^T_b = X_a = X ist folgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W_b=W^T_a

Was nichts anderes heißt, als dass die Ausgangssignale bei gleichem Eingangssignal übereinstimmen, die Übertragungsfunktion ist also gleich.

Empfindlichkeitsanalyse

Es soll wieder ein lineares System S betrachtet werden, das nur ein Eingangs- und ein Ausgangssignal besitzt (kann mit derselben Argumentation auf beliebig viele Ein- und Ausgänge verallgemeinert werden). Es soll nun untersucht werden, wie sich die Übertragungsfunktion $ H(z) $ von S ändert, wenn genau ein Pfad, z. B. der zwischen Knoten h und l, geändert wird.

Es entsteht also ein neues System

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S \rightarrow S^\Delta: F_{hl}(z) \rightarrow F^\Delta_{hl}(z)=F_{hl}(z)+\Delta F_{hl}(z)

Auch die anderen Systemkomponenten werden in das neue System überführt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W_k(z) \rightarrow W^\Delta_k(z) ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): X(z) \rightarrow X^\Delta(z)=X(z) ; $ F_{ij}(z)\rightarrow F_{ij}^{\Delta }(z)=F_{ij}(z)|_{i\neq h\land j\neq l} $; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H(z) \rightarrow H^\Delta

Dieses System wird nun über das Tellegen-Theorem mit dem transponierten Ausgangssystem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S^T verglichen. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sum_{k=1}^N \sum_{j=1}^N W^\Delta_j.W^T_k.(F^\Delta_{jk} - F^T_{kj}) + \sum_{k=1}^N(W^T_k.X^\Delta_k - W^\Delta_k.X^T_k) = 0

In der linken Summe sind dann wieder alle Summanden Null, außer der für j=h und k=l. Durch die Voraussetzung eines Eingangssignals (Knoten a) und eines Ausgangssignals (Knoten b) lässt sich auch die rechte Summe wieder reduzieren.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W^\Delta_h.W^T_l.(F^\Delta_{hl} - F^T_{lh}) + W^T_a.X - W^\Delta_b.X = 0

Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F^T_{lh}(z) = F_{hl}(z) und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F^\Delta_{hl}=F_{hl}(z)+\Delta F_{hl}(z) lässt sich der Ausdruck weiter vereinfachen auf

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W^\Delta_h.W^T_l.\Delta F_{hl} + W^T_a.X - W^\Delta_b.X = 0

Wobei nun $ W_{a}^{T}(z)=H(z).X(z) $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W^\Delta_b(z) = H^\Delta(z).X(z) ist.

Auch die Knotensignale können durch (interne) Übertragungsfunktionen mit dem Eingangssignal in Verbindung gebracht werden. So wird Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W^\Delta_h(z) = H^\Delta_{ah}(z)X(z) und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): W^T_l(z) = H^T_{bl}(z).X(z)

Durch Umformung erhält man dann

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H^\Delta-H=\Delta H=H^\Delta_{ah}.H^T_{bl}.\Delta F_{hl} =H^\Delta_{ah}.H_{lb}.\Delta F_{hl}

Die einzig verbliebene Unbekannte in dieser Gleichung ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H^\Delta_{ah} . Sie kann mit genau dieser Gleichung berechnet werden, indem anstatt b der Knoten h als Ausgangsknoten verwendet wird.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H^\Delta_{ah}-H_{ah}=H^\Delta_{ah}.H_{lh}.\Delta F_{hl} .

Dies lässt sich umformen zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H^\Delta_{ah}=\frac{H_{ah}}{1-H_{lh}.\Delta F_{hl}} .

Durch Rückeinsetzen ergibt sich dann die Gleichung

$ \Delta H={\frac {H_{ah}}{1-H_{lh}.\Delta F_{hl}}}.H_{lb}.\Delta F_{hl} $,

die nur noch Funktionen aus dem Ursprungssystem enthält.

Literatur

• Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: Digital Signal Processing. Prentice-Hall, 1975, ISBN 0-13-214635-5.