Tellegen-Theorem
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Das Tellegen-Theorem (entwickelt von B. D. H. Tellegen) wird vor allem in der digitalen Signalverarbeitung für den Entwurf von Filtern eingesetzt. In seiner Reinform handelt es sich bei dem Theorem um eine Art Erhaltungssatz, es lassen sich aus ihm jedoch mehrere Beziehungen zwischen Signalflussgraphen ableiten.
Das Theorem
Es sind zwei Systeme S und S', die durch Signalflussgraphen beschrieben werden, gegeben. Diese müssen zunächst nicht unbedingt linear sein, haben aber dieselbe Anzahl von Knoten, nämlich N. Die Knotensignale werden mit
Die linke Summe enthält nur „interne“ Vorgänge, während die rechte Summe nur die Eingangssignale behandelt. Aus dieser Form lässt sich noch keine Aussage ableiten, es müssen konkrete Fälle betrachtet werden.
Herleitung
Wir betrachten zunächst nur die Knotensignale in der vorerst sinnlos und trivial erscheinenden Identität
Für die Knotensignale lässt sich einsetzen:
Einsetzen und Aufteilen der Summe führt genau auf obige Form.
LTI Fall
Sind die Übertragungsfunktionen der Pfade in beiden Systemen linear und zeitinvariant, dann lässt sich das Theorem auf eine einfachere Form umschreiben. Es werden zunächst die Zeitsignale durch ihre z-Transformierten ersetzt. Jedes Pfadsignal ist nun als Signal des Stammknotens multipliziert mit der Übertragungsfunktion des Pfades
Das Theorem kann nun umgeschrieben werden zu
Hieraus können nun relativ einfach Zusammenhänge zwischen den Systemen abgeleitet werden.
Transposition
Ist das zu vergleichende System S' das zu S transponierte System
Das transponierte System entsteht aus S, indem die Eingangs- zu den Ausgangsknoten werden und umgekehrt. Außerdem werden alle Pfade (bei gleichbleibender Pfadübertragungsfunktion) umgedreht, d. h.
Einsetzen dieser Bedingung in das Theorem
stehen.
Es wird nun weiter angenommen, dass das System S einen Eingangsknoten (
Da
Was nichts anderes heißt, als dass die Ausgangssignale bei gleichem Eingangssignal übereinstimmen, die Übertragungsfunktion ist also gleich.
Empfindlichkeitsanalyse
Es soll wieder ein lineares System S betrachtet werden, das nur ein Eingangs- und ein Ausgangssignal besitzt (kann mit derselben Argumentation auf beliebig viele Ein- und Ausgänge verallgemeinert werden). Es soll nun untersucht werden, wie sich die Übertragungsfunktion
Es entsteht also ein neues System
Auch die anderen Systemkomponenten werden in das neue System überführt
Dieses System wird nun über das Tellegen-Theorem mit dem transponierten Ausgangssystem
In der linken Summe sind dann wieder alle Summanden Null, außer der für j=h und k=l. Durch die Voraussetzung eines Eingangssignals (Knoten a) und eines Ausgangssignals (Knoten b) lässt sich auch die rechte Summe wieder reduzieren.
Da
Wobei nun
Auch die Knotensignale können durch (interne) Übertragungsfunktionen mit dem Eingangssignal in Verbindung gebracht werden. So wird
Durch Umformung erhält man dann
Die einzig verbliebene Unbekannte in dieser Gleichung ist
Dies lässt sich umformen zu
Durch Rückeinsetzen ergibt sich dann die Gleichung
die nur noch Funktionen aus dem Ursprungssystem enthält.
Literatur
- Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: Digital Signal Processing. Prentice-Hall, 1975, ISBN 0-13-214635-5.