Telegraphengleichung
Die Telegraphengleichung ist eine allgemeine Form der Wellengleichung.
Allgemeines
Mit den Materialgleichungen kann man die Maxwellgleichungen in ladungsfreien Raumgebieten umschreiben zu
und
.
Im Fall eines Isolators ist
Jede dieser Gleichungen ist eine spezielle Form der Telegraphengleichung. Diese ist eine partielle Differentialgleichung (wenn
.
In dieser Form ist sie eine Gleichung, die viele andere lineare partielle Differenzialgleichungen der Physik als Spezialfälle enthält (Wellengleichung, Diffusionsgleichung, Helmholtz-Gleichung, Potentialgleichung) und entsprechend ist sie auch allgemein behandelbar.
Telegraphengleichung mit a,b>0; c=0
Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:
Ersetzt man beispielsweise F durch E oder H und wählt a=εμ sowie b=σμ erhält man die Wellengleichung für ein verlustbehaftetes Dielektrikum.
bzw.
Telegraphengleichung mit a>0; b=0; c=0
Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:
Und tragen oberbegrifflich den Namen Wellengleichung. Ersetzt man beispielsweise F durch E oder H und wählt a=εμ, erhält man die Wellengleichungen elektromagnetischer Wellen im verlustfreien Raum.
bzw.
Ersetzt man F durch u oder durch i, so erhält man die Wellengleichung für die Ausbreitung von Spannungs- und Stromwellen längs verlustfreier Leitungen:
bzw.
Ersetzt man F durch die Auslenkung L von Masseteilchen und a durch den Kehrwert der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit v, erhält man die Wellengleichung mechanischer Wellen:
Telegraphengleichung mit a=0; b>0; c=0
Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:
und tragen oberbegrifflich den Namen Wärmeleitungsgleichung oder Diffusionsgleichung. Ersetzt man F durch E, H oder JL und wählt b=σμ, erhält man die Gleichungen für das Strömungsfeld in Leitern mit Stromverdrängung:
bzw.
bzw.
Ersetzt man F durch die Temperatur T und b durch Cρ/λ (C spezifische Wärme, ρ Dichte, λ Wärmeleitfähigkeit), so erhält man die partiellen Differentialgleichungen für räumlich-zeitliche Temperaturverteilungen:
Quelle
- Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz, Finite Elemente, Finite Differenzen, Ersatzladungsverfahren, Boundary-Element-Methode, Momentenmethode, Monte-Carlo-Verfahren. 6. unveränderte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5.