Telegraphengleichung

Dieser Artikel befasst sich mit der Telegraphengleichung der Elektrodynamik. Die (speziellere) Telegraphengleichung der Elektronik wird unter Telegraphengleichung (Elektronik) behandelt.

Die Telegraphengleichung ist eine allgemeine Form der Wellengleichung.

Allgemeines

Mit den Materialgleichungen kann man die Maxwellgleichungen in ladungsfreien Raumgebieten umschreiben zu

$ \Delta {\vec {E}}={\frac {\mu \epsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}+{\frac {4\pi \sigma \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}} $

und

$ \Delta {\vec {H}}={\frac {\mu \epsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}+{\frac {4\pi \sigma \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}} $.

Im Fall eines Isolators ist $ \sigma =0 $ und die Maxwellgleichungen reduzieren sich zur (vektoriellen) Wellengleichung.

Jede dieser Gleichungen ist eine spezielle Form der Telegraphengleichung. Diese ist eine partielle Differentialgleichung (wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a > 0 hyperbolisch, bei < 0 elliptisch und = 0 parabolisch) und lautet in der allgemeinen Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta \vec F = a \frac{\partial^2 \vec F}{\partial t^2}+b \frac{\partial \vec F}{\partial t}+c \vec F .

In dieser Form ist sie eine Gleichung, die viele andere lineare partielle Differenzialgleichungen der Physik als Spezialfälle enthält (Wellengleichung, Diffusionsgleichung, Helmholtz-Gleichung, Potentialgleichung) und entsprechend ist sie auch allgemein behandelbar.

Telegraphengleichung mit a,b>0; c=0

Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta F = a \frac {\delta^2 F} {\delta t^2} + b \frac {\delta F} {\delta t}

Ersetzt man beispielsweise F durch E oder H und wählt a=εμ sowie b=σμ erhält man die Wellengleichung für ein verlustbehaftetes Dielektrikum.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta E = a \frac {\delta^2 E} {\delta t^2} + b \frac {\delta E} {\delta t}

bzw.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta H = a \frac {\delta^2 H} {\delta t^2} + b \frac {\delta H} {\delta t}

Telegraphengleichung mit a>0; b=0; c=0

Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta F = a \frac {\delta^2 F} {\delta t^2}

Und tragen oberbegrifflich den Namen Wellengleichung. Ersetzt man beispielsweise F durch E oder H und wählt a=εμ, erhält man die Wellengleichungen elektromagnetischer Wellen im verlustfreien Raum.

$ \Delta E=a{\frac {\delta ^{2}E}{\delta t^{2}}} $

bzw.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta H = a \frac {\delta^2 H} {\delta t^2}

Ersetzt man F durch u oder durch i, so erhält man die Wellengleichung für die Ausbreitung von Spannungs- und Stromwellen längs verlustfreier Leitungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac {\delta^2 u} {\delta x^2} = L'C' \frac {\delta^2 u} {\delta t^2}

bzw.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac {\delta^2 i} {\delta x^2} = L'C' \frac {\delta^2 i} {\delta t^2}

Ersetzt man F durch die Auslenkung L von Masseteilchen und a durch den Kehrwert der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit v, erhält man die Wellengleichung mechanischer Wellen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac {\delta^2 L} {\delta x^2} = \frac {1} {v} \frac {\delta^2 L} {\delta t^2}

Telegraphengleichung mit a=0; b>0; c=0

Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta F = b \frac {\delta F} {\delta t}

und tragen oberbegrifflich den Namen Wärmeleitungsgleichung oder Diffusionsgleichung. Ersetzt man F durch E, H oder JL und wählt b=σμ, erhält man die Gleichungen für das Strömungsfeld in Leitern mit Stromverdrängung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta E = \sigma \mu \frac {\delta E} {\delta t}

bzw.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta H = \sigma \mu \frac {\delta H} {\delta t}

bzw.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta J_{L} = \sigma \mu \frac {\delta J_{L}} {\delta t}

Ersetzt man F durch die Temperatur T und b durch Cρ/λ (C spezifische Wärme, ρ Dichte, λ Wärmeleitfähigkeit), so erhält man die partiellen Differentialgleichungen für räumlich-zeitliche Temperaturverteilungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta T = \frac {C \rho} {\lambda} \frac {\delta T} {\delta t}

Quelle

• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz, Finite Elemente, Finite Differenzen, Ersatzladungsverfahren, Boundary-Element-Methode, Momentenmethode, Monte-Carlo-Verfahren. 6. unveränderte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5.