Telegraphengleichung

Die Telegraphengleichung ist eine allgemeine Form der Wellengleichung.

Allgemeines

Mit den Materialgleichungen kann man die Maxwellgleichungen in ladungsfreien Raumgebieten umschreiben zu

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{E}=\frac{\mu ϵ}{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}+\frac{4\pi \sigma \mu }{c^2}\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$

und

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{H}=\frac{\mu ϵ}{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{H}}{\partial t^2}+\frac{4\pi \sigma \mu }{c^2}\frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t}$.

Im Fall eines Isolators ist $\sigma =0$ und die Maxwellgleichungen reduzieren sich zur (vektoriellen) Wellengleichung.

Jede dieser Gleichungen ist eine spezielle Form der Telegraphengleichung. Diese ist eine partielle Differentialgleichung (wenn $a>0$ hyperbolisch, bei < 0 elliptisch und = 0 parabolisch) und lautet in der allgemeinen Form

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{F}=a\frac{{\partial }^2\overrightarrow{F}}{\partial t^2}+b\frac{\partial \overrightarrow{F}}{\partial t}+c\overrightarrow{F}$.

In dieser Form ist sie eine Gleichung, die viele andere lineare partielle Differenzialgleichungen der Physik als Spezialfälle enthält (Wellengleichung, Diffusionsgleichung, Helmholtz-Gleichung, Potentialgleichung) und entsprechend ist sie auch allgemein behandelbar.

Telegraphengleichung mit a,b>0; c=0

Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:

$\mathrm{\Delta }F=a\frac{{\delta }^{2}F}{\delta t^2}+b\frac{\delta F}{\delta t}$

Ersetzt man beispielsweise F durch E oder H und wählt a=εμ sowie b=σμ erhält man die Wellengleichung für ein verlustbehaftetes Dielektrikum.

$\mathrm{\Delta }E=a\frac{{\delta }^{2}E}{\delta t^2}+b\frac{\delta E}{\delta t}$

bzw.

$\mathrm{\Delta }H=a\frac{{\delta }^{2}H}{\delta t^2}+b\frac{\delta H}{\delta t}$

Telegraphengleichung mit a>0; b=0; c=0

Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:

$\mathrm{\Delta }F=a\frac{{\delta }^{2}F}{\delta t^2}$

Und tragen oberbegrifflich den Namen Wellengleichung. Ersetzt man beispielsweise F durch E oder H und wählt a=εμ, erhält man die Wellengleichungen elektromagnetischer Wellen im verlustfreien Raum.

$\mathrm{\Delta }E=a\frac{{\delta }^{2}E}{\delta t^2}$

bzw.

$\mathrm{\Delta }H=a\frac{{\delta }^{2}H}{\delta t^2}$

Ersetzt man F durch u oder durch i, so erhält man die Wellengleichung für die Ausbreitung von Spannungs- und Stromwellen längs verlustfreier Leitungen:

$\frac{{\delta }^{2}u}{\delta x^2}=L^{\prime }{C}^{\prime }\frac{{\delta }^{2}u}{\delta t^2}$

bzw.

$\frac{{\delta }^{2}i}{\delta x^2}=L^{\prime }{C}^{\prime }\frac{{\delta }^{2}i}{\delta t^2}$

Ersetzt man F durch die Auslenkung L von Masseteilchen und a durch den Kehrwert der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit v, erhält man die Wellengleichung mechanischer Wellen:

$\frac{{\delta }^{2}L}{\delta x^2}=\frac{1}{v}\frac{{\delta }^{2}L}{\delta t^2}$

Telegraphengleichung mit a=0; b>0; c=0

Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:

$\mathrm{\Delta }F=b\frac{\delta F}{\delta t}$

und tragen oberbegrifflich den Namen Wärmeleitungsgleichung oder Diffusionsgleichung. Ersetzt man F durch E, H oder JL und wählt b=σμ, erhält man die Gleichungen für das Strömungsfeld in Leitern mit Stromverdrängung:

$\mathrm{\Delta }E=\sigma \mu \frac{\delta E}{\delta t}$

bzw.

$\mathrm{\Delta }H=\sigma \mu \frac{\delta H}{\delta t}$

bzw.

$\mathrm{\Delta }{J}_L=\sigma \mu \frac{\delta J_L}{\delta t}$

Ersetzt man F durch die Temperatur T und b durch Cρ/λ (C spezifische Wärme, ρ Dichte, λ Wärmeleitfähigkeit), so erhält man die partiellen Differentialgleichungen für räumlich-zeitliche Temperaturverteilungen:

$\mathrm{\Delta }T=\frac{C\rho }{\lambda }\frac{\delta T}{\delta t}$

Quelle

• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz, Finite Elemente, Finite Differenzen, Ersatzladungsverfahren, Boundary-Element-Methode, Momentenmethode, Monte-Carlo-Verfahren. 6. unveränderte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5.