Telegraphengleichung
Die Telegraphengleichung ist eine allgemeine Form der Wellengleichung.
Allgemeines
Mit den Materialgleichungen kann man die Maxwellgleichungen in ladungsfreien Raumgebieten umschreiben zu
- $ \Delta {\vec {E}}={\frac {\mu \epsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}+{\frac {4\pi \sigma \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}} $
und
- $ \Delta {\vec {H}}={\frac {\mu \epsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}+{\frac {4\pi \sigma \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}} $.
Im Fall eines Isolators ist $ \sigma =0 $ und die Maxwellgleichungen reduzieren sich zur (vektoriellen) Wellengleichung.
Jede dieser Gleichungen ist eine spezielle Form der Telegraphengleichung. Diese ist eine partielle Differentialgleichung (wenn $ a>0 $ hyperbolisch, bei < 0 elliptisch und = 0 parabolisch) und lautet in der allgemeinen Form
- $ \Delta {\vec {F}}=a{\frac {\partial ^{2}{\vec {F}}}{\partial t^{2}}}+b{\frac {\partial {\vec {F}}}{\partial t}}+c{\vec {F}} $.
In dieser Form ist sie eine Gleichung, die viele andere lineare partielle Differenzialgleichungen der Physik als Spezialfälle enthält (Wellengleichung, Diffusionsgleichung, Helmholtz-Gleichung, Potentialgleichung) und entsprechend ist sie auch allgemein behandelbar.
Telegraphengleichung mit a,b>0; c=0
Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:
- $ \Delta F=a{\frac {\delta ^{2}F}{\delta t^{2}}}+b{\frac {\delta F}{\delta t}} $
Ersetzt man beispielsweise F durch E oder H und wählt a=εμ sowie b=σμ erhält man die Wellengleichung für ein verlustbehaftetes Dielektrikum.
- $ \Delta E=a{\frac {\delta ^{2}E}{\delta t^{2}}}+b{\frac {\delta E}{\delta t}} $
bzw.
- $ \Delta H=a{\frac {\delta ^{2}H}{\delta t^{2}}}+b{\frac {\delta H}{\delta t}} $
Telegraphengleichung mit a>0; b=0; c=0
Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:
- $ \Delta F=a{\frac {\delta ^{2}F}{\delta t^{2}}} $
Und tragen oberbegrifflich den Namen Wellengleichung. Ersetzt man beispielsweise F durch E oder H und wählt a=εμ, erhält man die Wellengleichungen elektromagnetischer Wellen im verlustfreien Raum.
- $ \Delta E=a{\frac {\delta ^{2}E}{\delta t^{2}}} $
bzw.
- $ \Delta H=a{\frac {\delta ^{2}H}{\delta t^{2}}} $
Ersetzt man F durch u oder durch i, so erhält man die Wellengleichung für die Ausbreitung von Spannungs- und Stromwellen längs verlustfreier Leitungen:
- $ {\frac {\delta ^{2}u}{\delta x^{2}}}=L'C'{\frac {\delta ^{2}u}{\delta t^{2}}} $
bzw.
- $ {\frac {\delta ^{2}i}{\delta x^{2}}}=L'C'{\frac {\delta ^{2}i}{\delta t^{2}}} $
Ersetzt man F durch die Auslenkung L von Masseteilchen und a durch den Kehrwert der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit v, erhält man die Wellengleichung mechanischer Wellen:
- $ {\frac {\delta ^{2}L}{\delta x^{2}}}={\frac {1}{v}}{\frac {\delta ^{2}L}{\delta t^{2}}} $
Telegraphengleichung mit a=0; b>0; c=0
Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:
- $ \Delta F=b{\frac {\delta F}{\delta t}} $
und tragen oberbegrifflich den Namen Wärmeleitungsgleichung oder Diffusionsgleichung. Ersetzt man F durch E, H oder JL und wählt b=σμ, erhält man die Gleichungen für das Strömungsfeld in Leitern mit Stromverdrängung:
- $ \Delta E=\sigma \mu {\frac {\delta E}{\delta t}} $
bzw.
- $ \Delta H=\sigma \mu {\frac {\delta H}{\delta t}} $
bzw.
- $ \Delta J_{L}=\sigma \mu {\frac {\delta J_{L}}{\delta t}} $
Ersetzt man F durch die Temperatur T und b durch Cρ/λ (C spezifische Wärme, ρ Dichte, λ Wärmeleitfähigkeit), so erhält man die partiellen Differentialgleichungen für räumlich-zeitliche Temperaturverteilungen:
- $ \Delta T={\frac {C\rho }{\lambda }}{\frac {\delta T}{\delta t}} $
Quelle
- Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz, Finite Elemente, Finite Differenzen, Ersatzladungsverfahren, Boundary-Element-Methode, Momentenmethode, Monte-Carlo-Verfahren. 6. unveränderte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5.