Teilchen auf dem Ring

Das Teilchen auf dem Ring ist eines der verschiedenen Modellsysteme aus der Quantenmechanik, welches zur Quantisierung der Energie führt. Es ist dem Teilchen im Kasten sehr ähnlich und wird daher auch als „Teilchen im kreisförmigen Potentialkasten“ bezeichnet.

Entlang des Umfangs können kreisförmige, stehende Welle mit ganzzahligem Verhältnis Umfang/Wellenlänge auftreten. Es kann mehrere Eigenfrequenzen geben.

Im Unterschied zum Teilchen im Kasten bewegt sich das Teilchen auf dem Ring jedoch nicht linear, sondern kreisförmig potentialfrei um einen bestimmten Punkt. Deshalb ist es günstiger mit Polar- als mit Kartesischen Koordinaten zu rechnen. Das Teilchen bewegt sich um einen bestimmten Radius $\rho$ , der konstant ist. Deshalb hängt die Wellenfunktion des Teilchens nur vom Polarwinkel $\phi$ und nicht vom Abstand zum Mittelpunkt $$ r $$ ab.

Mathematische Betrachtung

Um die Wellenfunktionen und die Energien der Zustände des Teilchens auf dem Ring zu finden ist es nötig die stationäre Schrödingergleichung im gegebenen Potential zu lösen. Das Potential ist gegeben durch

V(\phi )={\begin{cases}V_{0},&{\text{wenn }}r=\rho \\\infty ,&{\text{sonst}}\end{cases}}

Der Hamilton-Operator lässt sich in Polarkoordinaten für den relevanten Bereich als

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m\rho ^{2}}}{\frac {d^{2}}{d\phi ^{2}}}+V_{0}

schreiben, wodurch sich die zu lösende Schrödingergleichung ergibt:

\psi ''(\phi )=-{\frac {2m\rho ^{2}}{\hbar ^{2}}}(E-V_{0})\psi (\phi ).

Es handelt sich also um eine gewöhnliche, lineare, homogene Differentialgleichung 2. Ordnung, für die der Lösungsansatz lautet

\psi _{M}(\phi )=\alpha e^{iM\phi }.\!\,

Durch Einsetzen in die Schrödingergleichung erhält man

M={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}\rho .\!\,

Um die Differentialgleichung eindeutig zu lösen ist nun noch eine Randbedingung notwendig. Nach einer Umdrehung auf dem Ring, muss die Wellenfunktion wieder dieselbe sein:

\psi (\phi )=\psi (\phi +2\pi ),\!\,

was zu folgender Bedingung führt:

{\begin{aligned}\alpha e^{iM\phi }&=\alpha e^{iM(\phi +2\pi )}\\e^{iM\phi }&=e^{iM\phi }e^{2\pi iM}\\e^{2\pi iM}&=1.\end{aligned}}\!\,

Diese Bedingung ist nur erfüllt, wenn $$ M $$ ganzzahlig ist. Die Energien des Teilchens auf dem Ring erhält man nun, durch einfaches Umformen:

E={\frac {M^{2}\hbar ^{2}}{2m\rho ^{2}}}+V_{0},\quad M\in \mathbb {Z} .\!\,

Nun muss die Wellenfunktion noch normiert werden, was geschieht indem man über das Betragsquadrat der Wellenfunktion von $$ 0 $$ bis $2\pi$ integriert. Dazu schreibt man die Wellenfunktion mithilfe der Euler'schen Identität in

\alpha e^{iM\phi }=\alpha (i\sin {(M\phi )}+\cos {(M\phi )})\!\,

um. Da der Betrag einer komplexen Zahl $$ z $$ als $|z|={\sqrt {{\text{Im}}(z)^{2}+{\text{Re}}(z)^{2}}}$ definiert ist, erhält man

\alpha ^{2}\int _{0}^{2\pi }\underbrace {\sin ^{2}{(M\phi )}+\cos ^{2}{(M\phi )}} _{=1}\mathrm {d} \phi =1,

wodurch sich $\alpha ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ ergibt. Somit lautet die Wellenfunktion für eine Teilchen auf dem Ring

\psi _{M}(\phi )={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{iM\phi }\quad M\in \mathbb {Z} ,&{\text{wenn }}r=\rho \\0,&{\text{sonst.}}\end{cases}}

Entartung

Neben der Quantisierung führt dieses relativ einfach zu rechnende Beispiel zum ersten Mal auf das Konzept der Entartung. Da Zustände bei denen sich $$ M $$ nur im Vorzeichen unterscheidet, zwar verschiedene Zustände aber wegen $M^{2}$ dieselben Energien darstellen, existieren hier jeweils zwei Zustände mit derselben Energie. Die Zustände sind 2-fach entartet.

Siehe auch