Anharmonischer Oszillator
Der anharmonische Oszillator ist ein Modell in der Quantenmechanik, das durch Einsetzen eines bestimmten Potentials, z. B. des Morse-Potentials, in den Hamiltonoperator entsteht.
Es ist ein störungstheoretisches Approximationsverfahren zur Lösung vieler verschiedener zeitunabhängiger quantenmechanischer Probleme. Durch die Taylorentwicklung komplizierterer – mit analytischen Mitteln unlösbarer – Potentiale um ein Minimum herum, zu einer der folgenden Formen $ H_{i} $, lassen sich diese Probleme auf ein System reduzieren, für das die Energieeigenwerte bekannt sind.
Beispiele für anharmonische Oszillatoren sind durch folgende Hamiltonfunktionen gegeben:
- $ H_{1}={p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}kx^{2}+{1 \over 2}k'x^{2} $
- $ H_{2}={p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}kx^{2}+ax^{3}+bx^{4} $
Hierbei entsprechen die ersten beiden Summanden jeder Formel der Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators.
Der Terminus „Anharmonischer Oszillator“ wird gewöhnlich nur für diese Hamiltonfunktionen verwendet, für die geschlossene Lösungen existieren. Damit eine Taylorentwicklung möglich ist, müssen die in den obigen Formeln auftretenden Konstanten höherer Ordnung klein gegenüber k sein.
Für $ H_{1} $ sind die Energieeigenwerte:
- $ E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(1+{\frac {k'}{k}}\right)^{\frac {1}{2}} $
Die ersten Terme der Taylorreihe von $ E_{n} $ lauten
- $ E_{n}^{(1)}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {k'}{2k}}\right) $
- $ E_{n}^{(2)}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {k'^{2}}{8k^{2}}}\right) $
weil
- $ \left[1+\left({\frac {k'}{k}}\right)\right]^{\frac {1}{2}}=1+{1 \over 2}{k' \over k}-{1 \over 8}{k'^{2} \over k^{2}}+\cdots $
für kleine $ {k' \over k} $.
Ein solches Verfahren lässt sich analog auch mit dem klassischen harmonischen Oszillator durchführen. Siehe dazu auch Störungstheorie (Klassische Physik)