Spin-Statistik-Theorem

Unter dem Spin-Statistik-Theorem der Quantentheorie versteht man die theoretische Begründung für den empirischen Befund, dass alle Elementarteilchen mit halbzahligem Spin der Fermi-Dirac-Statistik folgen, d. h. sog. Fermionen sind, hingegen alle Teilchen mit ganzzahligem Spin der Bose-Einstein-Statistik, d. h. sog. Bosonen sind.

Erläuterungen der Begriffe

Spin ist der Eigendrehimpuls der Teilchen. Eine klassische Vorstellung, etwa wie bei einem kleinen rotierenden Körper, ist hier nicht möglich. Alle Teilchen haben entweder ganzzahligen (0, 1, 2, ...) oder halbzahligen (1/2, 3/2, 5/2, ...) Spin, jeweils in Einheiten der reduzierten Planck-Konstanten $ \hbar ={\frac {h}{2\pi }} $.

Andererseits folgen alle Teilchen entweder der Fermi-Dirac- oder der Bose-Einstein-Statistik. Diese Statistiken beschreiben das kollektive Verhalten ununterscheidbarer Teilchen: jeweils nur ein einziges Fermion (Pauli-Prinzip), aber beliebig viele Bosonen können sich in einem bestimmten Quantenzustand befinden. Im Formalismus der Quantenmechanik wird das dadurch ausgedrückt, dass die Wellenfunktion einer Gruppe ununterscheidbarer Fermionen antisymmetrisch ist, d. h. bei Vertauschung der Parameter zweier beliebiger Fermionen wechselt ihr Vorzeichen; dagegen ist die Wellenfunktion einer Gruppe ununterscheidbarer Bosonen symmetrisch, d. h. bei Vertauschung der Parameter zweier beliebiger Bosonen ändert sich ihr Vorzeichen nicht.

Beispiele für Fermionen sind Elektronen, Protonen und Neutronen, für Bosonen die Photonen, ⁴He-Atome und deren Kerne, die Alphateilchen.

Die Fermi-Dirac-Statistic liefert u. a. die Grundlage für die Erklärung des Periodensystems der Elemente, die Bose-Einstein-Statistik u. a. die Suprafluidität des ⁴He bei niedrigen Temperaturen.

Entdeckung der Begründung

Obwohl der Spin und die beiden o.g. Statistiken schon 1926 bekannt waren, fanden erst Markus Fierz 1939 und Wolfgang Pauli 1940 theoretische Begründungen für den Zusammenhang der Phänomene. Beide Begründungen basierten auf Methoden der relativistischen Quantenfeldtheorie, und es bildete sich die Auffassung, ohne (spezielle) Relativitätstheorie könne der Zusammenhang nicht bewiesen werden. Paulis Beweis wurde in den folgenden Jahren verallgemeinert und verfeinert.

Literatur

• Markus Fierz: Über die relativistische Theorie kräftefreier Teilchen mit beliebigem Spin, Helv. Phys. Acta 12, 3-17 (1939)
• Wolfgang Pauli: The Connection Between Spin and Statistics, Phys. Rev. 58, 716–722 (1940). doi:10.1103/PhysRev.58.716 (PDF; 136 kB)
• Ray F. Streater und Arthur S. Wightman: Die Prinzipien der Quantenfeldtheorie, Bibliographisches Institut, Mannheim (1964). Titel des englischen Originals: PCT, Spin & Statistics, and All That
• Ian Duck und Ennackel Chandy George Sudarshan: Pauli and the Spin-Statistics Theorem, World Scientific, Singapore (1997)
• Arthur S. Wightman: Pauli and the Spin-Statistics Theorem (Buch-Rezension), Am. J. Phys. 67 (8), 742-746 (1999)
• Arthur Jabs: Connecting spin and statistics in quantum mechanics, http://arXiv.org/abs/0810.2399 (Found. Phys. 40, 776–792, 793–794 (2010), doi:10.1007/s10701-009-9351-4, doi:10.1007/s10701-009-9377-7)