Schwerpunktsatz

Schwerpunktsatz

Der Schwerpunktsatz (oder auch präziser: Massenmittelpunktsatz) in der Mechanik besagt, dass sich der Schwerpunkt eines Systems von mehreren Körpern so verhält wie ein Massenpunkt, dessen Masse die Summe der Massen aller einzelnen Körper ist, und auf den die vektorielle Summe aller von außen an den einzelnen Körpern angreifenden Kräfte wirkt.

Der Schwerpunkt bewegt sich daher unbeeinflusst von den inneren Kräften zwischen den einzelnen Körpern des Systems. Der Schwerpunktsatz gilt für jedes System von Masseteilchen, z. B. für den starren Körper, für zwei Billardkugeln beim Stoß, für Erde und Mond im Schwerefeld der Sonne etc. Ist die Vektorsumme der äußeren Kräfte Null, bewegt sich der Schwerpunkt kräftefrei, d. h. geradlinig und ohne Änderung seiner Geschwindigkeit (Trägheitsprinzip). Damit bleibt auch der Gesamtimpuls des Systems konstant, er kann durch innere Kräfte nicht geändert werden.

Beispiele

  • Zerplatzt eine Feuerwerksrakete irgendwo auf ihrer parabelähnlichen Bahn, setzt der Schwerpunkt der auseinander fliegenden Bruchstücke die Bahn nahtlos fort.
  • Prallt auf einer ebenen Unterlage ein Körper auf einen anderen, der vorher ruhte, bewegen sich danach beide so, dass ihr Schwerpunkt seine geradlinige Bewegung ohne Änderung fortsetzt.
  • Wenn auf einen ruhenden ausgedehnten Körper an verschiedenen Punkten Kräfte angreifen, deren Vektorsumme Null ist, bleibt der Schwerpunkt des Körpers in Ruhe. Die Kräfte können höchstens eine Drehbewegung verursachen.
  • Um auf einer reibungsfreien ebenen Unterlage einen Wagen in Fahrt zu bringen, muss man aussteigen und von außen anschieben.

Schwerpunktsatz bei Energieniveaus in Atomen und Molekülen

In der Spektroskopie der Energieniveaus von Atomen und Molekülen wird als Schwerpunktsatz bezeichnet, wenn bei einer Störung durch benachbarte Atome oder durch ein äußeres Feld eine energetische Aufspaltung der Energieniveaus so eintritt, dass die Summe der Energieanhebungen und -Absenkungen im Vergleich zum ungestörten Fall null wird. Dies gilt z. B. beim Zeeman-Effekt und beim Stark-Effekt und nach der Ligandenfeldtheorie unter bestimmten Umständen in Molekülen.

Beispiel

Energieniveaudiagramm der d-Orbitale eines Metallions im oktaedrischen Ligandenfeld

Oktaedrisches Ligandenfeld, voll besetzt: 2 angehobene $ e_{g} $-Niveaus, 3 abgesenkte $ t_{2}g $-Niveaus Dann werden nach dem Schwerpunktsatz die 2 $ e_{g} $-Niveaus um 6 Dq angehoben und die 3 $ t_{2}g $-Niveaus um 4 Dq abgesenkt. (Dq entspricht einer Energie.) Damit ist die Gleichung $ 2*6Dq+3*(-4)Dq=0 $ erfüllt.

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