Scherrer-Gleichung

Die Scherrer-Gleichung bietet in der Röntgenbeugung die Möglichkeit, die Kristallgröße experimentell zu bestimmen. Sie geht zurück auf den Schweizer Physiker Paul Scherrer.

Im Allgemeinen lässt sich das Beugungsbild der Röntgenbeugung durch die Bragg-Gleichung $ n\lambda =2d\,\sin(\theta ) $ beschreiben. Voraussetzung der Bragg-Gleichung ist allerdings, dass die untersuchten Kristalle eine bestimmte Dicke haben und somit eine ausreichende Anzahl paralleler Netzebenen mit Netzebenenabstand d_hkl vorhanden sind. Bei der Pulvermethode (Debye-Scherrer-Verfahren) haben die Kristalle deshalb üblicherweise eine Korngröße von mindestens 0,1 μm. Bei der Kristallstrukturanalyse an Einkristallen sind die Kristalle meistens 50–500 μm groß.

schematische Darstellung der Bragg-Reflexion

Wenn die Kristalle sehr klein sind, hat das eine Verbreiterung der Röntgenreflexe zur Folge. Die Verbreiterung wird durch die Scherrer-Gleichung beschrieben:

$ \Delta (2\theta )={\frac {K\lambda }{L\cos \theta _{0}}} $

Δ(2θ) ist dabei die volle Halbwertsbreite des Reflexes gemessen im Bogenmaß, K der Scherrer-Formfaktor mit einem Wert von ungefähr 1, λ die Wellenlänge der Röntgenstrahlung, θ der Beugungswinkel (manchmal auch als 2θ/2 bezeichnet) und L die Ausdehnung des Kristalls senkrecht zu den Netzebenen des Reflexes.

Wenn die Kristallgröße bekannt ist, lässt sich somit die Verbreiterung des Reflexes berechnen und umgekehrt aus der Reflexverbreiterung die Größe der Kristalle. Die Scherrer-Gleichung ist gültig bei einer Kristallgröße von weniger als 100-200 nm.

Literatur

• A. Guinier (1994): X-Ray Diffraction in Crystals, Imperfect Crystals, and Amorphous Bodies (Kapitel 5), Dover Publications, New York. ISBN 0486680118.

• U. Holzwarth und N. Gibson: The Scherrer Equation versus the 'Debye-Scherrer Equation', Nature Nanotechnology 6 (2011) 534.