Rhombentriakontaeder

Ein Rhombentriakontaeder ist ein catalanischer Körper und dual zum Ikosidodekaeder. Es ist auch der Hüllkörper, der durch die Vereinigungsmenge der Durchdringung eines Dodekaeders und Ikosaeders beschrieben wird. Man erhält auch ein Rhombentriakontaeder, indem man gerade Pyramiden auf ein Ikosaeder oder Dodekaeder aufsetzt, von denen je zwei Seitenflächen einander zu einer ergänzen.

Das Rhombentriakontaeder besitzt 30 rhombenförmige Flächen, 32 Ecken und 60 Kanten. An 12 der Ecken grenzen 5 Kanten und an die übrigen 20 Ecken grenzen 3 Kanten an. Das Längenverhältnis der Diagonalen der Rhombenflächen entspricht exakt dem Goldenen Schnitt.

Verwandte Polyeder

• Disdyakistriacontahedron.jpg

  Hexakisikosaeder

• Deltoidalhexecontahedron.jpg

  Deltoidalhexakontaeder

Werden auf die 30 Begrenzungsflächen des Rhombentriakontaeders^[1] Pyramiden mit den Flankenlängen $ b $ und $ c\,(<b) $ aufgesetzt, entsteht ein allgemeines Hexakisikosaeder, sofern folgende Bedingung erfüllt ist:

$ {\frac {a}{10}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}\,<b<\,{\frac {a}{10}}{\sqrt {70+2{\sqrt {5}}}} $

• Das spezielle Hexakisikosaeder mit gleichen Flächenwinkeln an den Kanten $ a $ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b entsteht, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b = \frac{a}{2} \, (3\sqrt{5} - 5) ist.

• Nimmt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b den zuvor genannten maximalen Wert an, entartet das Hexakisikosaeder zu einem Deltoidalhexakontaeder mit den Kantenlängen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b .

Formeln

Anwendungen

• In Rollenspielen wird das Rhombentriakontaeder als Würfel (W30) verwendet.

Anmerkungen

Weblinks

Commons: Rhombentriakontaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Vorlage:Commonscat/WikiData/Difference

• Eric W. Weisstein: Rhombentriakontaeder. In: MathWorld. (englisch)
• Facharbeit über das Dodekaeder und das Rhombentriakontaeder (PDF-Datei; 183 kB)