Präzession

Präzession eines rotierenden Kreisels

Die Präzession ist allgemein die Richtungsänderung der Achse eines rotierenden Körpers, wenn äußere Kräfte ein Drehmoment auf ihn ausüben. Speziell in der Astronomie ist damit die Richtungsänderung der Erdachse gemeint, die eine Folge der Massenanziehung des Mondes und der Sonne in Verbindung mit der Abweichung der Erdfigur von der Kugelform ist.

Grundlagen

Präzession bei Störung

Die Trägheit der rotierenden Kreiselmasse bewirkt bei „Störungen“ durch Krafteinwirkung F1 an der Kreiselachse eine Ausweichbewegung, als wirke am Angriffspunkt der Störkraft eine um 90° in Rotationsrichtung „weitergedrehte“ Kraft F2 (tangential zur Drehbewegung). Vorsicht: Die Betrachtungen hier und im Folgenden sind nur für „schnell rotierende“ Kreisel richtig; im Allgemeinen muss mit den Eulerschen Gleichungen gerechnet werden.

Demonstration der Kreiselgesetze

Die Präzession ist neben der Stabilität der freien Kreiselachse das zweite der – technisch vielfach nutzbaren – grundlegenden Kreiselgesetze; sie lässt sich bei jedem Spielzeugkreisel beobachten, kann aber bei anspruchsvollerer Konstruktion auch in ihrer Richtungsumkehr zwischen „hängendem“ und „stehendem“ Kreisel demonstriert werden.

Setzt man einen Kreisel schräg auf, würde er infolge der Schwerkraft umkippen, wenn er nicht rotierte. Dieses „Kippmoment“ (analog F1) bewirkt bei einem rotierenden Kreisel, dass seine Drehachse aufgrund der Ausweichbewegung (durch F2) eine Bewegung ausführt, die Präzession.

Liegt die Drehachse des Kreisels insbesondere horizontal und ist der Kreisel auf der Drehachse, jedoch nicht im Schwerpunkt, gestützt, so präzediert die gesamte Anordnung um den Stützpunkt des Kreisels.

Technische Anwendungen der Präzession sind der Wendezeiger und die Unterstützung der Lenkung beim Fahrrad und beim Motorrad. Auch beim Gyrotwister kann man diesen Effekt deutlich spüren.

Das Beispiel Speichenrad

Skizze zur Präzession des Speichenrades

Die Präzession zeigt sich zum Beispiel auch, wenn man ein ausgebautes, schnell rotierendes Rad eines Fahrrades zunächst an beiden Enden der Radachse in den Händen hält und dann eine Seite loslässt. Anders als ein stehendes Rad kippt das rotierende Rad nicht nach unten, sondern die Achse rotiert langsam zur Seite. Der Grund für die Präzession ist, dass die Gravitation ein Drehmoment auf das Rad ausübt.

Entsprechend der Skizze habe ein sich drehendes Speichenrad den Drehimpuls ${\vec {L}}$ , also bei geeigneter Wahl der Koordinatenachsen

{\vec {L}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}

.

Die Gravitationskraft greift am Schwerpunkt des Rades in der Mitte der Achse an, während die Achse nur an einer Seite im Ursprung $$ O $$ unterstützt wird. Dieser Stützpunkt ist vom Schwerpunkt um den Abstand $$ d $$ entfernt. Daher wirkt hier das Drehmoment

{\vec {D}}={\vec {d}}\times {\vec {F}}_{G}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}}

mit $$ d=1 $$ und der nach unten gerichteten Gewichtskraft auf das Rad $F_{G}=1$ .

$$ D $$ zeigt also in diesem Fall nach hinten. Da der Drehmomentvektor die zeitliche Ableitung des Drehimpulsvektors ist, ${\vec {D}}={\dot {\vec {L}}}$ , ergibt sich ${\vec {L}}^{\prime }={\vec {L}}+{\vec {D}}\,dt$ , wie in der Skizze eingetragen. Der Drehimpulsvektor ${\vec {L}}$ , dessen Richtung durch die Lagerung des Rades mit der Achsrichtung ${\vec {d}}$ des rotierenden Rades übereinstimmt, erfährt also eine Ablenkung in eine Richtung, die in der x-y-Ebene und rechtwinklig zum Drehimpulsvektor selbst liegt. Da dies fortwährend geschieht, beschreibt damit die Achse, um die das Rad rotiert, eine Kreisbewegung in der waagerechten x-y-Ebene.

Im Sonderfall, wenn der Drehimpulsvektor ${\vec {L}}$ zum Anfangszeitpunkt der Nullvektor ist, das Rad also nicht rotiert, wird ein kleines Zeitintervall später ${\vec {L}}^{\prime }={\vec {D}}\,dt$ . Es kommt also zu einer Drehung des Rades um eine waagerechte Achse in der Richtung des Vektors ${\vec {D}}$ : Das Rad kippt in diesem Sonderfall wie erwartet nach unten.

Präzessionsperiode und Präzessionsfrequenz

Die Präzessionsperiode wird bestimmt durch:

T_{p}={\frac {4\pi ^{2}I_{s}}{MT_{s}}}

Hierbei ist I_s das Trägheitsmoment, T_s die Rotationsperiode und M das Drehmoment. Es handelt sich hierbei um eine Näherungsformel, die gilt, wenn $T_{s}\ll T_{p}$ ist.

Die Präzessionsfrequenz ist der Rotationsfrequenz (Drehzahl) umgekehrt proportional: Je schneller der Körper rotiert, desto weniger schnell taumelt er. Die resultierende Winkeländerung pro Zeit wird bei der Rotation der Erde als Präzessionskonstante bezeichnet.

Präzession der Erdachse

Prinzip und Beschreibung

Präzessionsbewegung der Erde mit (stark überzeichneter) Nutation

Die Erde hat keine exakte Kugelform, sondern durch die Abplattung des Erdellipsoids von 1:298,25 einen zusätzlichen „Äquatorwulst“ (engl. equatorial bulge) von 21 km. Dadurch bewirken die Gezeitenkräfte von Mond und Sonne ein Drehmoment, welches die Erdachse aufzurichten versucht und zur Präzession der Erdachse führt (auch als Lunisolare Präzession bezeichnet, in der Zeichnung mit P markiert). Für einen vollen Kegelumlauf benötigt die Erdachse um die 25.700–25.800 Jahre. Dieser Zeitraum wird Zyklus der Präzession (auch Platonisches Jahr) genannt und durch die Präzessionskonstante beschrieben.

Auch die Ebene der Mondbahn, die gegenüber der Ekliptik um rund 5° geneigt ist, weist eine Präzessionsbewegung mit einer Periodenlänge von 18,6 Jahren auf; d.h. ihr Normalenvektor beschreibt einen Kegelumlauf mit dieser Umlaufdauer um den Normalenvektor der Ekliptik. Die dadurch verursachte Änderung des Drehmoments hat ebenfalls eine Auswirkung auf die Richtungsänderung der Erdachse: Dem kegelförmigen Präzessionsumlauf überlagert sich eine periodische Abweichung mit einer Amplitude von 9,2" und einer Periode von 18,6 Jahren. Diese nickende Bewegung der Erdachse heißt Nutation. In der Zeichnung ist sie mit N bezeichnet. Daneben gibt es noch weitere Nutationsanteile mit kürzeren Perioden und Amplituden unter 1". (Der hier verwendete astronomische Begriff der Nutation ist nicht identisch mit dem in der Mechanik verwendeten Begriff der Nutation in der Kreiseltheorie.)

Auswirkungen

Die Präzession der Erdachse führt dazu, dass das tropische Jahr, das sich nach dem Winkel der Erdachse zur Sonne richtet, etwa 20 Minuten kürzer ist als das siderische Jahr (ein Umlauf um die Sonne). Dadurch verändert sich die Schnittlinie Äquator-Ekliptik (der sog. Frühlingspunkt), welcher als eine Art „Nullmeridian“ auf der Himmelssphäre dient. Infolgedessen ändern sich auch die Koordinaten der Fixsterne am Himmel langsam – um etwa 0,014°, also 50,4" pro Jahr.
Dieser Effekt ist schon seit über 2000 Jahren bekannt. Der griechische Astronom Hipparchos verglich etwa um 150 v. Chr. die Sternörter seines neu gemessenen Kataloges mit den Daten aus mehrere hundert Jahre alten Aufzeichnungen und stellte Unterschiede fest. Die Babylonier dürften die Präzession aber schon etwa 170 Jahre früher entdeckt haben.

Gegenwärtig zeigt die Erdachse recht genau in Richtung des Polarsterns, so dass alle Fixsterne scheinbar eine Kreisbahn um ihn beschreiben. Als Folge der Präzession liegt der Himmelspol aber nicht fest beim Polarstern, sondern er wandert auf einem Kreis mit einem Radius von 23,5° (Schiefe der Ekliptik) um den Ekliptikpol. In 12.000 Jahren wird er sich bei der Wega im Sternbild Leier befinden, dem zweithellsten nördlichen Stern, und das Sternbild „Großer Hund“ beispielsweise wird von Mitteleuropa aus nicht mehr sichtbar sein, vom Sternbild Orion nur noch die sogenannten Schultersterne.

Im Rahmen der Milanković-Zyklen gibt es einen Einfluss der Präzession auf die Eiszeiten, über dessen Ausmaß aber noch Unklarheit herrscht.

Siehe auch

Nutation (Physik) – die nicht durch äußere Kräfte verursachte Bewegung der Achse eines Kreisels
Nutation (Astronomie) – die Nutation von Himmelskörpern, insbesondere der Erde
Künstlicher Horizont – wo die Präzession als Störeffekt auftritt
Präzession des Perizentrums bzw. Perihels – ein Effekt mit anderer physikalischer Ursache

Weblinks