Paschen-Gesetz
Das Paschen-Gesetz, benannt nach Friedrich Paschen, der diesen Zusammenhang 1889 experimentell aufstellte, besagt, dass in einem homogenen Feld die Durchschlagspannung eine Funktion des Produktes aus Gasdruck und Elektrodenabstand ist. Die Gleichung, die John Sealy Townsend erstmals herleitete, lautet
wobei
Die Paschenkurve ist die graphische Darstellung des Paschen-Gesetzes. Sie besitzt ein Minimum für kleine
Es gibt allerdings Hinweise darauf, dass die Paschenkurve unterhalb von 3 µm keine Gültigkeit besitzt und die Durchschlagspannung wieder abfällt[2].
Physikalischer Hintergrund
Zwischen zwei Elektroden befinden sich außer im perfekten Vakuum immer Atome und auch immer ein paar wenige freie Elektronen und Ionen. Durch das elektrische Feld zwischen den Elektroden werden die geladenen Teilchen beschleunigt. Die Ionen sind viel schwerer und größer als die Elektronen, werden also nur langsam beschleunigt und kollidieren schnell wieder mit anderen Atomen oder Ionen. Die Elektronen können jedoch auf eine Geschwindigkeit beschleunigt werden, die ihnen genug Energie verleiht, um beim Auftreffen auf ein Atom dieses zu ionisieren (Stoßionisation). Die dabei entstehenden freien Elektronen werden wiederum beschleunigt und erzeugen noch mehr freie Elektronen, sodass ein Lawineneffekt einsetzt.
Ein elektrischer Durchbruch tritt also frühestens dann auf, wenn die freien Elektronen auf eine Energie beschleunigt werden, die ausreicht, dass sie auf dem Weg zur Anode mindestens ein Atom ionisiert haben. Die angelegte Spannung muss also einen bestimmten Wert erreichen, der Durchbruchspannung genannt wird. Diese ist offensichtlich von der Ionisationsenergie der Gasatome abhängig. Die erreichbare Energie eines Elektrons hängt von seiner mittleren freien Weglänge ab, der Strecke, die es zurücklegt, bis es auf ein Atom stößt. Je länger dieser Weg ist, desto höher die Energie durch die Beschleunigung. Die freie Weglänge hängt von der Größe der Atome und deren Dichte ab, also auch von Temperatur und Druck.
Herleitung
Grundlagen
Um die Durchschlagspannung zu berechnen, geht man von einem Plattenkondensator mit dem Plattenabstand
Für die Stoßionisation ist es Voraussetzung, dass die Elektronenenergie
(Die Anzahl an freien Elektronen auf der Anode ist also die Anzahl der freien Elektronen auf der Kathode, die sich durch Stoßionisation vermehrt hat. Je größer also
Die Anzahl an erzeugten freien Elektronen bei der Entladung ist
Unter Vernachlässigung, dass Atome mehrfach ionisiert werden können, ist die Anzahl an erzeugten Ionen gleich der Anzahl der erzeugten freien Elektronen:
wobei
Stoßionisation
Die Frage ist nun, wie groß
Wie der zweite Teil der Gleichung verdeutlicht, kann man die Wahrscheinlichkeit auch als Verhältnis der vom Elektron zurückgelegten Wegstrecke
- (
: Druck, : Volumen, : Boltzmann-Konstante, : Temperatur)
ausdrücken. Wie nebenstehende Skizze verdeutlicht, ist
wobei der Faktor
Die Änderung des Stroms von noch nicht kollidierten Elektronen an jedem Wegpunkt
ausdrücken. Diese Differentialgleichung lässt sich leicht lösen:
Die Wahrscheinlichkeit dass
Gemäß seiner Definition ist
Dabei wurde bedacht, dass die Energie
Durchschlagspannung
Für den Plattenkondensator gilt
Setzt man dies in (5) ein und formt nach
- mit
Plasmazündung
Plasmazündung in Definition von Townsend (Townsend-Entladung) bedeutet, dass das Plasma einen Punkt erreicht, an dem es von selbst brennt, unabhängig von einer externen Quelle von freien Elektronen. Dies bedeutet, dass die Elektronen der Kathode die Anode im Abstand
Verwendet man
Schlussfolgerung/Gültigkeit
Das Paschen-Gesetz setzt also voraus, dass
- es vor der Zündung schon freie Elektronen auf der Kathode gibt (
), die beschleunigt werden können um die Stoßionisation auszulösen. Solche sogenannten Seedelektronen können durch Ionisation durch kosmische Hintergrundstrahlung erzeugt werden. - die Erzeugung weiterer freier Elektronen nur durch Stoßionisation geschieht. Das Paschen-Gesetz gilt also nicht, wenn externe Elektronenquellen vorhanden sind. Dies kann z.B. Licht sein, das Sekundärelektronen durch den photoelektrischen Effekt erzeugt. Dies muss bei Experimenten berücksichtigt werden.
- ein ionisiertes Atom nur zu je einem freien Elektron führt. Mehrfachionisationen treten jedoch in der Praxis immer auf.
- freie Elektronen auf der Kathodenoberfläche durch die auftreffenden Ionen erzeugt werden. Die Anzahl der dabei erzeugten Elektronen ist jedoch stark vom Kathodenmaterial, dessen Oberflächenbeschaffenheit (Rauheit, Verunreinigungen) und den Umgebungsbedingungen (Temperatur, Luftfeuchtigkeit, etc.) abhängig. Die experimentelle Bestimmung des Faktors
ist daher kaum reproduzierbar möglich. - das elektrische Feld homogen ist.
Einzelnachweise
- ↑ http://books.google.de/books?id=_Mpqj_XC9KQC&pg=PA289&dq=Durchschlagspannung+druckabhängig&hl=de&ei=Tj_2TPv0PIOZOp_I6ZwI&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCkQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false
- ↑ Emmanouel Hourdakis, Brian J. Simonds, and Neil M. Zimmerman: Submicron gap capacitor for measurement of breakdown voltage in air. In: Rev. Sci. Instrum.. 77, Nr. 3, 2006, S. 034702. doi:10.1063/1.2185149.
- ↑ J. Townsend, The Theory of Ionization of Gases by Collision. Constable, 1910. Online: http://www.worldcat.org/wcpa/oclc/8460026
- ↑ F. Paschen, “Ueber die zum Funkenübergang in Luft, Wasserstoff und Kohlensäure bei verschiedenen Drucken erforderliche Potentialdifferenz,” Annalen der Physik, vol. 273, no. 5, pp. 69 – 96, 1889. Online: http://dx.doi.org/10.1002/andp.18892730505
- ↑ J. Townsend, Electricity in Gases. Clarendon Press, 1915. Online: http://www.worldcat.org/wcpa/oclc/4294747