Lawson-Kriterium

Das Lawson-Kriterium (nach John Lawson) ist eine physikalische Bedingung, die die für eine sich selbst tragende Kernfusions-Kettenreaktion (Break-Even) notwendigen Werte bestimmter Größen verknüpft. Es wurde ursprünglich für die Fusion von Deuterium und Tritium mit magnetischem Plasmaeinschluss formuliert, gilt aber grundsätzlich auch für andere Fusionsbrennstoffe und Einschlussmethoden.

Das Kriterium ergibt sich aus dem Gleichgewicht der im Plasma erzeugten, von den Alphateilchen getragenen Fusionsleistung $P_{f,\alpha }$ und der Verlustleistung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_v des Plasmas.

Das Gleichgewicht

Eine ohne äußere Energiezufuhr weiter "brennende" Fusion setzt voraus, dass die Verlustleistung nicht größer ist als die alphateilchen-getragene Fusionsleistung. Letztere beträgt

P_{f,\alpha }=n_{1}n_{2}\langle \sigma v\rangle \epsilon V

mit den Teilchendichten n_i der beiden Reaktionspartner, der über die Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen gemittelten Reaktionsrate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle \sigma v \rangle (Teilchengeschwindigkeit multipliziert mit dem geschwindigkeitsabhängigen Wirkungsquerschnitt), der freiwerdenden Energie pro Fusion $\epsilon$ und dem Plasmavolumen V. Die Verluste sind gegeben zu

P_{v}={\frac {3n_{e}k_{B}T}{\tau _{E}}}V

mit der Elektronendichte $n_{e}$ , der Boltzmannkonstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k_B , der Temperatur T und der Energieeinschlusszeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau_E . Zum Erreichen des Break-Even muss gelten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_{f,\alpha} \ge P_v

Mit der Annahme, dass beide Reaktionspartner in gleichen Mengen vorhanden sind, also die gleichen Teilchendichten haben und quasi vollständig ionisiert sind

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_1 = n_2 \approx \frac{1}{2}n_e \quad \leftrightarrow \quad n_1 n_2 = \left(\frac{(n_1 + n_2)}{2} \right)^2 = \frac{n_e^2}{4}

folgt das Lawson-Kriterium:

n_{e}\tau _{E}\geq {\frac {12kT}{\langle v\sigma \rangle \epsilon }}

Bei vorgegebener Temperatur ergibt sich also das Produkt aus der Teilchendichte n und der Energieeinschlusszeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau_E , das für eine Erhaltung der Fusionsreaktion mindestens erforderlich ist. Dieses Produkt ist eine Funktion der Temperatur, die für jede Fusionsreaktion etwas anders verläuft, aber immer ein absolutes Minimum hat. Für die D-D-Reaktion erhält man beispielsweise

n_{e}\tau _{E}\geq 10^{20}\,\mathrm {s\,m^{-3}}

,

für die D-T-Reaktion mit ihrer viel höheren Energieausbeute von etwa 17,6 MeV (siehe z. B. Kernfusionsreaktor) sind es

n_{e}\tau _{E}\geq 5\cdot 10^{18}\,\mathrm {s\,m^{-3}}

Literatur

J.D. Lawson:Some Criteria for a Useful Thermonuclear Reactor, A.E.R.E. report GP/R 1807, December 1955, declassified April 9th 1957