Beschleunigungsspannung

Durch Anlegen einer Beschleunigungsspannung werden elektrisch geladene Teilchen beschleunigt und damit auf teils hohe Geschwindigkeiten gebracht.

Anwendungen

An den verschiedensten Stellen von Technik und Wissenschaft werden geladene Teilchen in unterschiedlichsten Geschwindigkeiten und damit kinetische Energien benötigt. Dies reicht von wenigen eV in Röhren bis GeV oder gar TeV in Teilchenbeschleunigern. Aber auch in jeder Bildröhre sorgt eine Beschleunigungsspannung dafür, dass die Elektronen mit hoher Geschwindigkeit auf die von innen mit einer Leuchtschicht versehene Frontseite der Bildröhre treffen und somit Licht erzeugen.

Relativistische Behandlung

In den Laboratorien erreichen Teilchen Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit $ c $. Deshalb kann man nicht mehr klassisch rechnen. Man muss relativistisch rechnen, da die Geschwindigkeit nicht mehr proportional zur angewandten Beschleunigung ist. Man misst deshalb nicht mehr die Geschwindigkeit, sondern die Energie in eV (Elektronenvolt).

Für die Geschwindigkeit $ v $ nach der Beschleunigung gilt:

$ v=c{\sqrt {1-{\frac {1}{\left(1+{\frac {qU}{m_{0}c^{2}}}\right)^{2}}}}} $

Dabei ist $ c $ die Lichtgeschwindigkeit, $ q $ die Ladung des beschleunigten Teilchens, $ U $ die Beschleunigungsspannung und $ m_{0} $ die Ruhemasse des beschleunigten Teilchens.

Herleitung

Nach dem Durchlaufen der Beschleunigungsspannung U erhöht sich die Energie eines Teilchen mit der Ladung q um

$ \Delta E=q\cdot U $

Weiterhin gilt die Äquivalenz von Masse und Energie

$ \Delta E=\Delta m\cdot c^{2} $

Für die Beschleunigung eines Elektrons ergibt sich somit

$ \Delta m={\frac {q\,U}{c^{2}}} $

Für die Gesamtmasse $ m $ des beschleunigten Teilchens gilt nun

$ m=m_{0}+\Delta m\,\Rightarrow \,m=m_{0}+{\frac {q\,U}{c^{2}}}\,\Rightarrow \,{\frac {m}{m_{0}}}=1+{\frac {q\,U}{m_{0}c^{2}}} $

Eine Ruhemasse $ m_{0} $ erfährt einen relativistischen Massezuwachs, wenn sie mit der Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v bewegt wird:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m = m_0 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m die Masse der bewegten Ruhemasse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_0 .

Ersetzt man nun in der vorletzten Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{m}{m_0} durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} , so erhält man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = 1 + \frac{q \, U}{m_0 c^2}

woraus man durch auflösen nach der Geschwindigkeit $ v $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v = c \sqrt{1 - \frac{1}{\left( 1 + \frac{q\, U}{m_0 c^2} \right)^2}}

erhält.

Klassische Näherung

Für kleine Geschwindigkeiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(v \ll c\right) gilt als Näherung die folgende Gleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v = \sqrt{2 U \frac{q}{m}}

Da die elektrische Energie, die das Teilchen der Ladung q nach dem Durchlaufen der Beschleunigungsspannung U erhalten hat, direkt in kinetische Energie umgewandelt wird, solange die Geschwindigkeit v klein genug bleibt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(v \ll c\right) , erhält man diese Näherung wie folgt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_\mathrm{kin} = E_\mathrm{el} \Leftrightarrow \frac{1}{2}mv^2 = qU \Leftrightarrow v^2 = 2U\frac{q}{m} \Leftrightarrow v = \sqrt{2 U \frac{q}{m}}

Unabhängigkeit von der Strecke

Aus den obigen Formeln kann man ersehen, dass die Geschwindigkeit eines Teilchens nur von der Spannung und den physikalischen Eigenschaften des Teilchens abhängt. Der Abstand von Kathode zu Anode spielt keine Rolle. Je größer der Abstand der beiden Elektroden ist, umso kleiner ist die elektrische Feldstärke und somit auch die Beschleunigung. Dafür legt das Teilchen, während es beschleunigt wird, eine längere Strecke zurück, an dessen Ende das Teilchen die gleiche Geschwindigkeit hat wie bei kurzer Strecke und hoher Beschleunigung.