Prisma (Geometrie)
Ein Prisma (Mehrzahl: Prismen) ist ein geometrischer Körper, der ein Vieleck als Grundfläche hat und dessen Seitenkanten parallel und gleich lang sind.
Ein Prisma entsteht durch Parallelverschiebung eines ebenen Vielecks entlang einer nicht in dieser Ebene liegenden Geraden im Raum und ist daher ein spezielles Polyeder. Man kann auch von einer Extrusion des Vielecks sprechen.
Gerades und schiefes Prisma
Erfolgt die Parallelverschiebung des Vielecks senkrecht zur Grundfläche, spricht man von einem geraden Prisma ansonsten von einem schiefen Prisma.
Bezeichnungen
Das gegebene Vieleck wird als Grundfläche bezeichnet, die andere dazu kongruente und parallele Begrenzungsfläche als Deckfläche. Die Gesamtheit aller übrigen Begrenzungsflächen heißt Mantelfläche. Diese besteht aus Parallelogrammen, im Spezialfall des geraden Prismas aus Rechtecken.
Einordnung
Das Prisma ist ein Spezialfall des Zylinders. Eine besondere Form des Prismas ist der Quader. Er ist von jeder Seite betrachtet ein Prisma. Im engeren Sinne versteht man in der Optik unter einem Prisma meistens ein gerades Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche, siehe Prisma (Optik).
Formeln für Volumen, Mantel- und Oberfläche
Das Volumen $ V $ eines Prismas ist gegeben durch
- $ V=A_{G}\cdot h $,
wobei $ A_{G} $ den Flächeninhalt der Grundfläche und $ h $ die Höhe des Prismas bezeichnet. Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Prismen (etwa ein gerades und ein schiefes Prisma) bei gleicher Grundfläche und Höhe das gleiche Volumen besitzen.
Die Mantelfläche $ A_{M} $ eines geraden Prismas ist gegeben durch
- $ A_{M}=U_{G}\cdot h $,
wobei $ U_{G} $ für den Umfang der Grundfläche und $ h $ für die Höhe des Prismas steht. Die gesamte Oberfläche $ O $ eines Prismas ergibt sich aus
- $ O=2\cdot A_{G}+A_{M} $,
wobei $ A_{G} $ und $ A_{M} $ dem Inhalt von Grund- und Mantelfläche entsprechen.
Bipyramide
Verbindet man alle Flächenmittelpunkte jener Flächen eines Polyeders miteinander, die gemeinsame Eckpunkte haben, dann erhält man den zum Polyeder dualen Körper.
Der duale Körper eines geraden Prismas mit polygonaler Grundfläche ist eine Bipyramide mit einer ähnlichen gespiegelten Pyramide. Der Oberflächeninhalt errechnet sich wie folgt:
- $ O=2\cdot G+M $
Antiprisma
Im Gegensatz zu einem Prisma liegen beim Antiprisma Ober- und Unterseite, die aus einem regelmäßigen n-Eck bestehen, parallel, aber um $ {\tfrac {360^{\circ }}{2n}} $ verdreht zueinander Ecke an Kante. Den Mantel bilden dabei 2n gleichschenklige Dreiecke.
Ein einfaches Beispiel eines Antiprismas ist das Oktaeder, das sich als Antiprisma mit dreieckiger Grundfläche auffassen lässt. Das Oktaeder ist auch eine Bipyramide mit quadratischer Grundfläche.
Weblinks
Commons: Prismen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Prisma – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen