Parallelepiped
Unter einem Parallelepiped (von griechisch επίπεδον epipedon „Fläche“; Synonyme: Spat, Parallelflach, Parallelotop) versteht man einen geometrischen Körper, der von sechs paarweise kongruenten (deckungsgleichen) in parallelen Ebenen liegenden Parallelogrammen begrenzt wird. Die Bezeichnung Spat rührt vom Kalkspat (Calcit, chemisch: CaCO3) her, dessen Kristalle die Form eines Parallelepipeds aufweisen.
Ein Parallelepiped hat zwölf Kanten, von denen je vier parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind. Stellt man drei an einem Eckpunkt zusammentreffende Kanten als Vektoren
Volumen
Das Volumen V ist das Produkt der Grundfläche G und der Parallelepiped-Höhe h,
Das Volumen kann als Determinante einer 3×3-Matrix angesehen werden, welches man auch Spatprodukt nennt.
Es seien
Der Flächeninhalt der Oberfläche ergibt sich aus der Summe der einzelnen Parallelogrammflächen
.
Anmerkungen
- Quader (alle Winkel 90°) und Rhomboeder (alle Kanten gleich lang) sind Sonderformen des Parallelflachs. Der Würfel vereinigt beide Sonderformen in einer Figur.
- Das Parallelepiped ist ein spezielles (schiefes) Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche.
- Jedes Parallelepiped ist ein Raumfüller, das heißt der Raum lässt sich mit parallelverschobenen Exemplaren von P so überdecken, dass je zwei unter ihnen höchstens Randpunkte gemein haben.
Verallgemeinerung auf den n-dimensionalen Raum (n > 1)
Die Verallgemeinerung des Parallelepiped in den n-dimensionalen Raum heißt für
Definition
Ein n-Parallelotop P ist das Bild des Einheitswürfels E unter einer affinen Abbildung. Der Einheitswürfel
Das Parallelotop P ist ein konvexes Polytop mit
Volumen
Eine affine Abbildung
,
wobei
Weblinks
Literatur
- Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20389-3.