4D

Dieser Artikel befasst sich mit den Dimensionen des euklidischen Raums. Zu weiteren Bedeutungen siehe 4D (Begriffsklärung).

'4. Dimension' ist eine Weiterleitung auf diesen Artikel. Das Album der Hip-Hop-Gruppe Die Fantastischen Vier ist unter Die 4. Dimension aufgeführt.

4-D-Körpersimulation (Drehung der Schnittebene durch einen 4-D-Würfel (Tesserakt))

Schnitt durch einen 4-D-Würfel

4D oder 4-D^[1] ist eine verbreitete Abkürzung für vierdimensional als Angabe einer geometrischen Dimension.

Im Gegensatz zum 3D-Raum unserer Vorstellungswelt (Länge-Breite-Höhe, oder x-y-z) bedeutet 4-D, dass ein orthogonales Objekt je 4 Zahlenangaben für seine „Position“ und seine „Ausdehnung“ benötigt (üblicherweise werden hier die kartesischen Koordinaten x, y, z und w verwendet) sowie vier Winkel, die seine Ausrichtung im Raum bestimmen.

Zur vierten Dimension

Die Einführung mehrdimensionaler „Hyperräume“, die unserer direkten Erfahrung nicht zugänglich sind, ergibt sich aus Bereichen der Höheren Mathematik bzw. der Physik. Zur Veranschaulichung kann man sich vorstellen, den 3-D-Raum durch eine zusätzliche Dimension auf 4-D zu verallgemeinern – etwa durch eine skalare Eigenschaft (siehe 1D) oder eine Art Farbskala.

Häufig wird die „vierte Dimension“ mit der Zeit gleichgesetzt und der 4-D-Raum mit dem Begriff Raumzeit. Das ist insofern nicht ganz korrekt, da ein solcher Raum nicht euklidisch ist, was u.a. an der so genannten Raumkrümmung liegt. Diese entspricht der gedanklichen Übertragung von gekrümmten Flächen (2-D) auf den Raum (3-D). Die Euklidische Geometrie wird erweitert, um gekrümmte Mannigfaltigkeiten mittels Methoden der nicht-euklidischen Geometrie zu beschreiben. Nach Einstein ist es die Anwesenheit von Masse, welche die Raumkrümmung verursacht.

Mathematisch-geometrisch anschauliche Herleitung

Eine Dimension bezeichnet eine Ausdehnung in eine Richtung, die nicht durch die Richtungen anderer, untergeordneter Dimensionen dargestellt werden kann. Als Beispiel möge der schrittweise Übergang vom Punkt (0D) zu 3-D und 4-D dienen:

Interaktiver Bildbetrachter

Einige Würfelanaloge

Dimension 0

Ein Punkt ohne Ausdehnung (ein Kreis mit Radius 0).

Dimension 1

In der Dimension 1 ist eine Bewegung in einer beliebigen Richtung vom Punkt weg möglich; man erhält eine Strecke. Beispielhaft ist die X-Achse eines Koordinatensystems, Ausdehnung nach links und rechts.

Dimension 2

Bei Dimension 2 suchen wir zudem eine Richtung, die nicht die der Strecke ist, im einfachsten Fall: senkrecht auf die Strecke. Dadurch erhalten wir ein Koordinatensystem, mit welchem wir jeden Punkt einer Ebene erreichen können. Beispielsweise die Y-Achse eines Koordinatensystems, Ausdehnung nach vor und zurück.

Dimension 3

Für die Dimension 3 ist eine Richtung notwendig, die nicht in der Ebene (aus Dimension 2) liegt. Dazu zeigen wir einmal (vergleichbar dem Sekundenzeiger einer Uhr) in alle Richtungen der Ebene und schließen alle diese Richtungen aus. Zurück bleiben Richtungen, die nach oben oder unten zeigen. Im einfachsten Fall senkrecht auf der Ebene „nach oben“. Dadurch erhalten wir ein Koordinatensystem, mit welchem wir jeden Punkt im Raum erreichen können. Dies ist die Z-Achse eines Koordinatensystems, Ausdehnung nach oben und unten.

Dimension 4

Wiederum ist eine Richtung erforderlich, die nicht im Raum (aus Dimension 3) liegt. Dazu zeigen wir kugelförmig in alle Richtungen, die wir uns vorstellen können und schließen alle diese Richtungen aus. Zurück bleiben Richtungen, die wir uns mit unserem 3-dimensionalen Verstand nicht (mehr) vorstellen können. Im einfachsten Fall steht diese senkrecht auf alle Richtungen, die wir uns vorstellen können. Erweitern wir den Raum in diese Richtung, haben wir einen 4-dimensionalen Hyperraum beschrieben. Hierfür wird die W-Achse eines Koordinatensystems eingeführt mit der Ausdehnung nach ana und kata, Begriffe geprägt von Charles Howard Hinton.

Durch derart logische Überlegungen kann man errechnen, dass ein 4-dimensionaler (Hyper-)Würfel (Tesserakt) 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Flächen und 8 Volumina besitzt.

• Hyperwürfel
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Jede Dimension kann man sich als Zusammensetzung einer unendlichen Anzahl der vorherigen Dimension vorstellen. Die Gerade, mit der Dimension 1 ist so die Zusammenfügung einer unendlichen Anzahl Punkte der Dimension 0. Überträgt man diese Gedanken auf die „Vierte Dimension“, so ist diese die Zusammensetzung unendlich vieler (dreidimensionaler) Räume. Die Projektion eines vier-dimensionalen Objekts entsteht im dreidimensionalen Raum als „Schatten“ stets in 3-D.

Physikalisch verbreitetes Verständnis

Gemäß der obigen mathematischen Definition ist ein 4-dimensionales Koordinatensystem ein Koordinatensystem mit vier linear unabhängigen Richtungen. Dieses eignet sich, unsere bekannten drei Raumdimensionen und die Zeit-Dimension abzubilden.

In Einsteins Relativitätstheorie sind Raum und Zeit zu einer vierdimensionalen Raumzeit vereinigt. Der Raum zu einem bestimmten Zeitpunkt ist einfach eine Hyperfläche (in der speziellen Relativitätstheorie eine Hyperebene) in der Raumzeit. Damit ist die „Richtung“ des Raumes (und der Zeit) in der Raumzeit nicht eindeutig bestimmt. In der Tat hängt die Wahl der Raum-Hyperebene vom Bezugssystem ab. Anschaulich darstellen lässt sich das in Minkowskidiagrammen, Näheres dazu findet sich auch unter Minkowskiraum.

Allerdings ist die Raumzeit – auch die ungekrümmte – nicht euklidisch, da ein Abstand zwischen zwei Punkten der flachen Raumzeit nicht durch die übliche Vektornorm definiert ist, sondern durch:

$ \Delta s^{2}=\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}-c^{2}\,\left(\Delta t\right)^{2} $

Aus topologischen Gründen ist für die Einbettung eines gekrümmten 3D-Raumes keine vierte räumliche Dimension erforderlich.

Aus einem 3D-Raum kann durch eine andere Dimension als der Zeit ein 4D-Raum entstehen. Dies lässt sich erreichen durch eine zusätzliche skalare Eigenschaft, wie bei 1D, oder eine Skala wie einer Farbskala.

Kosmologische Bedeutung

Unsere erlernte Vorstellung erlaubt den dreidimensionalen Raum. Welche tatsächliche Ausdehnung der uns umgebende Raum in weiteren Richtungen hat, ist das Untersuchungsobjekt der Kosmologie.

4-Dimensionale Körper

• Neben dem Tesserakt, dem 4-dimensionalen Hyperwürfel gibt es auch das Pentachoron, eine Hyperpyramide.

4-D-Flugführung

Technik, die Flugverkehr - in der Luft - nicht überwiegend nur räumlich ordnet, sondern zukünftig auch im Zeitablauf samt Fluggeschwindigkeit und Sinken koordiniert. Lotsen und Rechner wirken dann nicht mehr bloß als Separation Manager, sondern als Verkehrsflussmanager, um dichteren Flugverkehr termingerechter und - etwa dank weniger Warteschleifen - energieeffizienter abzuwickeln. Anlässlich Testung im Februar 2012 wird eine breite Einführung nicht vor 2018 in Aussicht gestellt.^[2]

Weblinks

• http://cips02.physik.uni-bonn.de/ScienceSite/index.html - Gute, einfache Erklärung und eine 3D-Animation von einem Hypercube
• http://www.4d-screen.de/related-space - Rotierende Körper im Hyperraum - z.B. 4d-plane, kleins bottle und hypercube
• http://www.dimensions-math.org/ Mehrsprachige Erklärungen und Videos zum Thema.

Einzelnachweise