Young-Laplace-Gleichung

Die Young-Laplace-Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen der Oberflächenspannung, dem Druck und der Oberflächenkrümmung. Die Young-Laplace-Gleichung ist nach Thomas Young und Pierre-Simon Laplace benannt, die die Gleichung unabhängig voneinander 1805 hergeleitet haben.

In einem Flüssigkeitstropfen, beispielsweise in einem kleinen Wassertropfen oder einer Gasblase in einer Flüssigkeit, herrscht aufgrund der Oberflächenspannung an der Grenzfläche Flüssigkeit/Gasphase ein erhöhter Druck. Es gilt für den durch die Oberflächenspannung hervorgerufenen Druck p in einer Flüssigkeitskugel:

$ p={\frac {2\cdot \sigma }{r}} $

Dabei ist $ \sigma $ die Oberflächenspannung und r der Kugelradius. Wie man erkennt, ist der Druck umso größer, je kleiner der Kugelradius ist. Verkleinert man den Radius immer mehr, so dass er sich der Größenordnung von Moleküldurchmessern annähert, wird auch die Oberflächenspannung vom Radius abhängig, so dass die einfache Gleichung, die diese als konstant annimmt, nicht mehr gilt.

Wenn es sich nicht um eine Kugel handelt, sondern um eine beliebig gekrümmte Fläche, so lautet die Gleichung:

$ p=\sigma \left({\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}\right) $

r₁ und r₂ sind die Hauptkrümmungsradien des Krümmungskreises.

Für den Druck im Inneren einer Seifenblase ist der Druck doppelt so groß, weil die Seifenhaut zwei Oberflächen Gasphase/Flüssigkeit hat:

$ p={4\sigma \over r} $

für kugelförmige Blasen und

$ p=2\sigma \left({\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}\right) $

für nicht kugelsymmetrische Körper.

Wenn sich mehrere Seifenblasen ineinander befinden, muss man jeweils die Summe der Drücke aller Seifenblasen addieren, die sich auf dem Weg zu betrachteten Punkt befinden.

Herleitung der Gleichung

Für die Oberfläche A einer Kugel gilt

$ A=4\pi r^{2} $ ,

für das Volumen

$ V={\frac {4}{3}}\pi r^{3} $.

Bei einer kleinen Änderung des Radius um dr sind die Änderungen der Oberfläche

$ dA=8\pi rdr $,

und des Volumens

$ dV=4\pi r^{2}dr $.

Die Arbeit, die zur Veränderung der Oberfläche benötigt wird, ist damit

$ dW=\sigma dA=\sigma \cdot 8\pi rdr $,

die zur Änderung des Volumens

$ dW=pdV=p\cdot 4\pi r^{2}dr $.

Man erhält die oben angegebene Formel, wenn die beiden Arbeitsbeiträge gleichgesetzt werden.