Von-Neumann-Gesetz

Das Von-Neumann-Gesetz beschreibt die zeitliche Änderung der Größe von Zellen zweidimensionalen Schaumes.

Durch die Druckunterschiede benachbarter Schaumzellen und die dadurch resultierende Diffusion ändert sich mit der Zeit auch der Flächeninhalt der einzelnen zweidimensionalen Schaumzellen. John von Neumann fand 1952 das nach ihm benannte Gesetz [1]

\dot{A} = k \cdot (N - 6)

wobei $\dot{A}$ die zeitliche Änderung des Flächeninhaltes einer Zelle mit N Ecken angibt. k>0 ist ein Wachstumskoeffizient mit der Einheit $\frac{m^{2}}{s}$ . Interessant dabei ist, dass die Flächenänderung also nur von der Seitenzahl der Schaumzelle, nicht aber von den Nachbarn oder der Fläche der Zelle abhängt. Ein Gleichgewicht stellt sich somit ein, wenn ein Bereich komplett aus sechseckigen Zellen besteht. Das Von-Neumann-Gesetz gilt nur für zweidimensionalen Schaum. Ein entsprechendes Gesetz für dreidimensionalen Schaum ist Gegenstand jüngster Forschung [2].

7-eckige Zellen wachsen, 5-eckige schrumpfen

4-Eck	$\dot{A} = - 2 k$	Zelle schrumpft
5-Eck	$\dot{A} = - k$	Zelle schrumpft
6-Eck	$\dot{A} = 0$	Flächeninhalt konstant
7-Eck	$\dot{A} = k$	Zelle wächst
8-Eck	$\dot{A} = 2 k$	Zelle wächst

Schaumzellen mit Eckenanzahl

Literatur

Fachbücher

[1] J. von Neumann: Metal Interfaces, American Society for Metals, Cleveland 1952
Denis Weaire, Stefan Hutzler: The Physics of Foams, Clarendon Press, Oxford 1999 ISBN 0-198-51097-7

Fachaufsätze

[2] Sascha Hilgenfeldt: An Accurate von Neumann’s Law for Three-Dimensional Foams, Phys. Rev. Lett. 86, 12 (2001) Abstract im Physical Review Online Archieve