Tsai-Wu-Kriterium

Das Tsai-Wu-Kriterium gehört zu den nicht-differenzierenden Versagenskriterien bzw. Pauschalkriterien für Faser-Kunststoff-Verbund. Es geht auf Stephen W. Tsai und Edward M. Wu zurück, die es 1971 für ebene Spannungszustände veröffentlichten.

Kennzeichnend für diese Werkstoffe ist ihre strukturelle Anisotropie im Vergleich zu homogenen Werkstoffen, die weitgehend isotropes Werkstoffverhalten aufweisen. Vollständig lässt sich daher ein Faserverbundwerkstoff nur beschreiben, wenn neben den Elastizitäten auch die Materialfestigkeiten, also das Werkstoffversagen, richtungsabhängig beschreibbar sind.

Mathematische Herleitung

Das Tsai-Wu-Kriterium beschreibt einen Bruchkörper im 6-dimensionalen Spannungsraum $\sigma _{ij}$ ( $\sigma _{x}$ , $\sigma _{y}$ , $\sigma _{z}$ , $\tau _{xz}$ , $\tau _{yz}$ , $\tau _{xy}$ ). Versagen wird dann vorhergesagt, wenn der Spannungszustand außerhalb der Bruchfläche des Bruchkörpers liegt. Alle Spannungszustände innerhalb des Bruchkörpers sind versagensfrei. Mathematisch kann ein beliebiger Bruchkörper im Spannungsraum durch eine Funktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F(\sigma_{ij}) = 1 \,

beschrieben werden. Das mitunter bekannteste Kriterium im Faserverbundleichtbau dieser Art ist das Tsai-Wu-Kriterium, das auf eine Reihenentwicklung von allen Spannungskoeffizienten (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma_{ij} ) und anisotropen Festigkeitskoeffizienten (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_{ij} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b_{ijkl} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_{ijklmn} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ldots ) zurückgeht. Beschränkt man sich bei der mathematischen Darstellung auf die einsteinsche Summenkonvention, dann kann eine Reihenentwicklung in der Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F(\sigma_{ij}) = (a_{ij}\sigma_{ij})^\alpha+(b_{ijkl}\sigma_{ij}\sigma_{kl})^\beta +(c_{ijklmn}\sigma_{ij}\sigma_{kl}\sigma_{mn})^\gamma+\ldots =1

dargestellt werden. Das Tsai-Wu-Kriterium ist nun letztlich ein Spezialfall, bei dem nur die ersten zwei Glieder der Reihenentwicklung berücksichtigt werden. Wird weiterhin für die Exponenten $\alpha =\beta =1$ angenommen, ergibt sich das Tsai-Wu-Kriterium in der Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F(\sigma_{ij})=a_{ij}\sigma_{ij}+b_{ijkl}\sigma_{ij}\sigma_{kl}=1 \,

Bestimmung der Festigkeiten

Die Festigkeitstensoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_{ij} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b_{ijkl} müssen den anisotropen Festigkeitseigenschaften von Faserverbundwerkstoffen angepasst werden. Werden lediglich die zweidimensionalen, ebenen Werkstoffeigenschaften, also nur die Indizes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 1 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 2 sowie für die Festigkeitskoeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_{ij} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b_{ijkl} eine transversal isotrope Materialsymmetrie berücksichtigt, vereinfacht sich die Gleichung zu

$F(\sigma _{ij})=a_{11}\,\sigma _{11}+a_{22}\,\sigma _{22}+b_{1111}\,\sigma _{11}^{2}+b_{2222}\,\sigma _{22}^{2}+2b_{1122}\,\sigma _{11}\sigma _{22}+4b_{1212}\,\sigma _{12}^{2}=1$

Die Festigkeitskoeffizienten sollen nun aus Standardversuchen (Zug, Druck, Schub) bestimmt werden, dazu werden die Festigkeiten aus uniaxialen Belastungen längs (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma_{\parallel} ) und quer (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma_{\perp} ) zur Faserrichtung bestimmt. Mit den Druck- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_{\parallel}^{(-)} und Zugfestigkeiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_{\parallel}^{(+)} in Faserrichtung sowie den Druck- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_{\perp}^{(-)} und Zugfestigkeiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R_{\perp}^{(+)} quer zur Faserrichtung und den Schubfestigkeiten $R_{\parallel \perp }$ berechnen sich die Koeffizienten der tensoriellen Festigkeitskennwerte folgendermaßen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_{11} = \frac{1}{R_{\parallel}^{(+)}}-\frac{1}{R_{\parallel}^{(-)}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_{22} = \frac{1}{R_{\perp}^{(+)}}-\frac{1}{R_{\perp}^{(-)}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b_{1111} = \frac{1}{R_{\parallel}^{(+)}R_{\parallel}^{(-)}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b_{2222} = \frac{1}{R_{\perp}^{(+)}R_{\perp}^{(-)}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b_{1212} = \frac{1}{4 R_{\perp\parallel}^2}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): b_{1122} = \frac{F_{12}^*}{\sqrt{R_\parallel^{(+)}R_\parallel^{(-)}R_\perp^{(+)}R_\perp^{(-)}}}

Der Koeffizient $F_{12}^{*}$ von Tsai als Interaktionskoeffizient bezeichnet, kann aus einer kombinierten biaxialen normal Belastung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma_{\parallel} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma_{\perp} bestimmt werden. Eine Vielzahl unterschiedlicher Kriterien unterscheiden sich in eben nur diesem Koeffizienten. Tsai gibt für diesen Koeffizienten einen Gültigkeitsbereich von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -1 \leq F_{12}^* \leq 1 vor.

Tsai-Wu-Kriterium

Ausgeschrieben ergibt sich das Festigkeitskriterium nach Tsai-Wu zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F(\sigma_{ij})= \left(\frac{1}{R_{\parallel}^{(+)}}-\frac{1}{R_{\parallel}^{(-)}}\right)\,\sigma_{\parallel}+ \left(\frac{1}{R_{\perp}^{(+)}}-\frac{1}{R_{\perp}^{(-)}}\right)\,\sigma_{\perp}+ \frac{1}{R_{\parallel}^{(+)}R_{\parallel}^{(-)}}\,\sigma_{\parallel}^2+ \frac{1}{R_{\perp}^{(+)}R_{\perp}^{(-)}}\,\sigma_{\perp}^2+ \frac{2F_{12}^*}{\sqrt{R_\parallel^{(+)}R_\parallel^{(-)}R_\perp^{(+)}R_\perp^{(-)}}}\,\sigma_{\parallel}\sigma_{\perp}+ \frac{\tau_{\parallel\perp}^2}{R_{\perp\parallel}^2}=1

mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -1 \leq F_{12}^* \leq 1

Fazit, Diskussion

Das Tsai-Wu-Kriterium ist ein überschaubarer Ansatz, um richtungsabhängige Materialfestigkeiten zu berücksichtigen. Attraktivität gewinnt dieses Kriterium durch die einfache Umsetzbarkeit und Übersichtlichkeit. Im Gegensatz zu anderen Kriterien verfügt das Tsai-Wu-Kriterium über keine Auskunft für verschiedene Bruchmoden. So wird Zwischenfaserbruch (Zfb), Faserbruch (Fb) sowie Versagen unter Druck- und Zugbeanspruchungen in einem Kriterium bestimmt. Diese Eigenschaft des Kriteriums wird als Nachteil angesehen, da der Konstrukteur keine Auskunft über den Bruchmode erhält. Dementsprechend erhält man keine Information, wie die Auslegung eines Bauteils zu verändern ist, um Versagen zu vermeiden.

Siehe auch

Veröffentlichungen und Beiträge

A General Theory of Strength for Anisotropic Materials. In: Journal of Composite Materials, Vol. 5, No. 1, 58-80 (1971)
Failure Criteria In Fibre Reinforced Polymer Composites: The World-Wide Failure Exercise. Editors: M. J. Hinton, A. S. Kaddour, P. D. Soden. Elsevier 2004