Transversale Isotropie

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Die transversale Isotropie ist ein Sonderfall der Anisotropie. Mit den orthotropen Werkstoffen haben transversal isotrope gemeinsam, dass es keine Kopplung zwischen Dehnungen und Schubverzerrungen gibt. Zusätzlich gibt es eine ausgezeichnete Richtung, um die diese Werkstoffe gedreht werden können, ohne dass sich ihre Elastizitätseigenschaften ändern. Das heißt, in zu dieser Achse senkrechten Ebenen sind die Elastizitätseigenschaften unabhängig von der Richtung (isotrope Ebene). In anders orientierten Ebenen sind die Eigenschaften richtungsabhängig.

Bildhafte Erklärung der Transversalen Isotropie.
Der Werkstoff ist rotationssymmetrisch bezüglich der 1-Achse, die senkrecht auf der isotropen 2-3-Ebene steht.
Ein so orientierter Rundstab aus diesem Material kann um seine Längsachse gedreht werden, ohne dass sich seine Eigenschaften ändern.

Bedeutung in der Konstruktion

Unidirektional faserverstärkte Einzelschichten, Grundelemente von Verbundmaterialien, sind transversal isotrop bezüglich ihrer faserparallelen Achse. Die Einzelschichten weisen im Allgemeinen stark anisotrope (richtungsabhängige) Eigenschaften auf. In der Konstruktion werden transversal Isotrope Werkstoffe gerne eingesetzt. Sie haben den Vorteil der richtungsabhängigen Moduln. Der Konstrukteur muss sich jedoch keine Sorgen über die Änderung der Eigenschaften bei Drehung machen, solange er den Werkstoff in seinen Symmetrieachsen belastet.

Mathematische Formulierung

Ein transversal isotroper Werkstoff zeichnet sich dadurch aus, dass in seiner Steifigkeits- oder Nachgiebigkeitsmatrix die Koppelterme nicht besetzt sind. Schubspannungen führen nicht zu Dehnungen. Des Weiteren reduzieren sich die richtungsabhängigen Elastizitätsmoduln auf zwei. Aufgrund der transversalen Isotropie sind die folgenden Ausdrücke identisch:^[1]

• $ E_{2}=E_{3} $
• $ G_{12}=G_{13} $
• $ \nu _{21}=\nu _{31} $
• $ \nu _{23}=\nu _{32} $
• $ G_{23}={\frac {E_{2}}{2(1+\nu _{23})}} $

Zwar dürfen, wie auch bei orthotropen Werkstoffen, die Indizes der Querkontraktionszahlen nicht ausgetauscht werden, allerdings gilt $ {\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}={\frac {\nu _{21}}{E_{2}}} $, sodass sich insgesamt das Elastizitätsgesetz auf 5 unabhängige Größen reduziert:

$ {\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\gamma _{23}\\\gamma _{31}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{21}}{E_{2}}}&-{\frac {\nu _{21}}{E_{2}}}&&&\\-{\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}&{\frac {1}{E_{2}}}&-{\frac {\nu _{32}}{E_{2}}}&&&\\-{\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{23}}{E_{2}}}&{\frac {1}{E_{2}}}&&&\\&&&{\frac {2(1+\nu _{23})}{E_{2}}}&&\\&&&&{\frac {1}{G_{12}}}&\\&&&&&{\frac {1}{G_{12}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\tau _{23}\\\tau _{31}\\\tau _{12}\end{bmatrix}} $

Formelzeichen:

• $ E_{i} $ Elastizitätsmodul in Richtung i
• $ G_{ij} $ Schubmodul in der ij-Ebene
• $ \nu _{ij} $ Querkontraktionszahl in Richtung i bei Belastung in j-Richtung
• $ \sigma _{i} $, $ \epsilon _{i} $ Normalspannung bzw. Normaldehnung in Richtung i
• $ \tau _{ij} $, $ \gamma _{ij} $ Schubspannung bzw. Schiebung in der i-Ebene in Richtung j

Die Dimensionen der Module und Spannungen sind Kraft pro Fläche. Die Querkontraktionszahlen und die Dehnungen sind dimensionslos. $ i,j=1\dots 3 $

Literatur

• H. Altenbach, J. Altenbach, R. Rikards: Einführung in die Mechanik der Laminat- und Sandwichtragwerke. Stuttgart: Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, 1996. ISBN 3-342-00681-1

Einzelnachweise