Thévenin-Theorem
In der Theorie linearer elektrischer Netzwerke besagt das Thévenin-Theorem, benannt nach Léon Charles Thévenin und auch als Helmholtz-Thévenin-Theorem oder Helmholtz-Satz bezeichnet, dass jede mögliche Kombination von Spannungsquellen, Stromquellen und Widerständen bezüglich zweier Klemmen elektrisch äquivalent zu einer Reihenschaltung aus einer Spannungsquelle und einem Widerstand $ R $ ist. Diese Ersatzschaltung wird Thévenin-Äquivalent oder im deutschen Sprachraum Ersatzspannungsquelle genannt. Dieses Theorem wird zum Beispiel zur Vereinfachung in der Schaltungsanalyse verwendet.
Berechnung des Thévenin-Äquivalents
Das Thévenin-Äquivalent besteht aus einem Widerstand $ R_{\mathrm {Th} } $ und einer Spannungsquelle $ U_{\mathrm {Th} } $. Um die zwei Unbekannten $ R_{\mathrm {Th} } $ und $ U_{\mathrm {Th} } $ zu bestimmen, benötigt man zwei Gleichungen. Diese Gleichungen können auf verschiedene Art und Weise erstellt werden. Meistens gebraucht man jedoch folgende:
- Die Ausgangsspannung $ U_{\mathrm {AB} } $ bei offenen Klemmen A-B, d. h. ohne Lastwiderstand, bestimmen. Diese Leerlaufspannung ist die Thévenin-Äquivalentspannung $ U_{\mathrm {Th} } $.
Um den Thévenin-Äquivalentwiderstand $ R_{\mathrm {Th} } $ zu bestimmen, benutzt man meistens eine der drei folgenden Methoden:
- Man ersetzt alle unabhängigen Spannungsquellen durch Kurzschlüsse (behält jedoch die Innenwiderstände) und streicht alle unabhängigen Stromquellen (d. h. man ersetzt sie durch Open Circuits bzw. Unterbrechungen). Gesteuerte (abhängige) Strom- bzw. Spannungsquellen sind jedoch in der Schaltung zu belassen! Dann berechnet man den Ersatzwiderstand. Dieser ist gleich dem Thévenin-Äquivalentwiderstand.
- Wenn man den Kurzschlussstrom $ I_{\mathrm {AB} } $ kennt, benutzt man das Ohmsche Gesetz, um $ R_{\mathrm {Th} } $ zu bestimmen:
- $ R_{\mathrm {Th} }={\frac {U_{\mathrm {Th} }}{I_{\mathrm {AB} }}} $
- Man schließt einen Widerstand mit bekanntem Wert an A-B an. Mit Hilfe des Spannungsteilergesetzes kann man dann den Thévenin-Äquivalentwiderstand $ R_{\mathrm {Th} } $ bestimmen.
Eine geläufige Variante dieser Methode ist die der Halb-Spannung: Man schließt einen veränderbaren Widerstand (ein Potentiometer) an A-B an und misst die Spannung. Dann variiert man den Wert des veränderbaren Widerstandes, bis man die Hälfte der Leerlaufspannung $ U_{\mathrm {Th} } $ über A-B misst. Der veränderliche Widerstand ist dann gleich dem Thévenin-Äquivalentwiderstand $ R_{\mathrm {Th} } $.
Der Beweis des Thévenin-Theorems basiert auf dem Superpositionsprinzip.
Umwandlung zwischen Norton- und Thévenin-Äquivalent
Ein Norton-Äquivalent kann in ein Thévenin-Äquivalent umgewandelt werden anhand folgender Gleichungen:
- $ R_{\mathrm {Th} }=R_{\mathrm {No} }\, $
- $ U_{\mathrm {Th} }=I_{\mathrm {No} }R_{\mathrm {No} }\, $
Anmerkung: Das $ V_{\mathrm {th} } $ im Schaltbild ist eine englische Schreibweise und entspricht dem deutschen $ U_{\mathrm {Th} } $.
Erweiterung für Wechselstrom
Das Norton-Theorem kann auch auf harmonische Wechselstromsysteme verallgemeinert werden, indem Impedanzen statt der ohmschen Widerstände verwendet werden.
Geschichte
Das Thévenin-Theorem wurde zuerst vom deutschen Wissenschaftler Hermann von Helmholtz 1853 entdeckt. Es wurde dann 1883 vom französischen Ingenieur Léon Charles Thévenin (1857–1926) wiederentdeckt.[1]
Literatur
- Karl Küpfmüller, W. Mathis, A. Reibiger: Theoretische Elektrotechnik. Springer, Berlin, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-29290-X.
Einzelnachweise
- ↑ Johnson, D. H. (2003). Origins of the equivalent circuit concept: the voltage-source equivalent. Proceedings of the IEEE, 91(4), 636–640. doi:10.1109/JPROC.2003.811716