Das retardierte Potential (deutsch: verzögertes Potential) ist die Bezeichnung für die mathematische Form des Potentials in der elektromagnetischen Feldtheorie oder anderen Feldtheorien, in denen sich Änderungen des Feldes mit endlicher Geschwindigkeit (Lichtgeschwindigkeit) und nicht instantan (sofort, augenblicklich) ausbreiten. Es tritt bei der Untersuchung von zeitabhängigen Problemen wie der Abstrahlung elektromagnetischer Wellen auf. Im Bereich der Elektrostatik und Magnetostatik und der Newtonschen Gravitationstheorie werden dagegen Zeitabhängigkeiten vernachlässigt.
Mathematisch ist das Potential $ \,u(x,t) $ die Lösung der (aus den Maxwellgleichungen folgenden) inhomogenen Wellengleichung in drei Raumdimensionen
- $ {\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\sum _{i=1}^{3}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}\right)={\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u=v(t,x_{1},x_{2},x_{3})\,. $
wobei auf der rechten Seite ein Quellenterm $ \,v(x,t) $ steht. Die Lösung
- $ u_{\text{retardiert}}(t,\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int \!\mathrm {d} ^{3}y\,{\frac {v\left(t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}{c}},\mathbf {y} \right)}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}} $
heißt retardiertes Potential. Sie hängt am Ort $ \mathbf {x} $ zur Zeit $ t $ nur von der Inhomogenität $ v $ auf dem Rückwärtslichtkegel von $ \mathbf {x} $ ab. Die Inhomogenität wirkt sich auf die Lösung verspätet (daher der Name) mit Lichtgeschwindigkeit aus.
Die Lösung
- $ u_{\text{avanciert}}(t,\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int \!\mathrm {d} ^{3}y\,{\frac {v\left(t+{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}{c}},\mathbf {y} \right)}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}} $
heißt entsprechend avanciertes Potential. Dies beschreibt z. B. eine Senke, die ein bestehendes Feld absorbiert. Mit retardiertem und avanciertem Potential lassen sich somit Emission und Absorption von Feldern beschreiben.
Literatur
- Richard Courant und David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik Band 2. zweite Auflage, Springer Verlag, 1968
Weblinks
- Norbert Dragon, Stichworte und Ergänzungen zu Rechenmethoden der Physik, Kapitel 18
