Reaktionsdiffusionsgleichung

Reaktionsdiffusionsgleichungen (RD-Gleichungen) beschreiben Vorgänge, bei denen eine lokale Wechselwirkung und zusätzlich eine Diffusion auftritt. Ein Beispiel aus der Chemie sind etwa Modelle für die Belousov-Zhabotinsky-Reaktion (BZ-Reaktion), bei der räumliche Muster entstehen, weil eine lokal oszillierende chemische Reaktion mit einem Diffusionsvorgang gekoppelt ist. Ein Beispiel aus der Biologie sind räumliche Ausbreitungsprozesse von Tieren und Pflanzen. Hierbei hat der Interaktionsterm oft die Form einer logistischen Kolmogorov-Gleichung. Bei RD-Gleichungen handelt es sich um partielle Differentialgleichungen zweiten Grades, die der Form nach Ratengleichungen sind. Sie beschreiben also die zeitliche Änderung einer Größe (zum Beispiel Stoffmenge, Abundanz, Konzentration o.ä.).

Mathematisch haben sie folgende Form:

{\frac {d}{dt}}X=f(X,Y,...)+D\cdot {\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}X

.

Dabei sind $$ X,Y,... $$ Funktionen der Zeit $$ t $$ und des Ortes $$ z $$ . Sie bilden die Größen ab, deren Dynamik beschrieben wird. Die Funktion $$ f(X,Y,...) $$ beschreibt den Reaktionsanteil. Der Term $\textstyle D\cdot {\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}X$ stammt aus dem 2. Fickschen Gesetz und beschreibt die Diffusion.

Reaktionsdiffusionsgleichungen finden im Bereich der Chemie in der Technischen Chemie und dem Maschinenbau Anwendung. Dort werden verschiedene Systeme betrachtet, bei denen Konvektion, Diffusion und Reaktion zusammen auftreten (Makrokinetik). Beispiele sind die Auslegung von chemischen Reaktoren oder technische Verbrennungsvorgänge. In der Entwicklungsbiologie spielen Reaktionsdiffusionsgleichungen seit Alan Turing eine überragende Rolle bei der mathematischen Theorie der Morphogenese, siehe Turing-Mechanismus. Systeme mit einer aktivierenden und zwei inhibierenden Komponenten spielen eine wichtige Rolle bei der Modellierung der Strukturbildungsprozesse lokalisierter teilchenartiger Strukturen, sogenannter dissipativer Solitonen, die z.B. in der BZ-AOT-Reaktion und Halbleiter-Gasentladungssystemen beobachtet werden.

Siehe auch

Wärmeleitungsgleichung
Kolmogorov-Gleichung Einfache Reaktionsdiffusionsgleichung mit Sättigungsterm
FitzHugh-Nagumo-Modell

Literatur

Dilip Kondepudi, Ilya Prigogine: Modern Thermodynamics. From Heat Engines to Dissipative Structures. John Wiley & Sons, Chichester u. a. 1998, ISBN 0-471-97393-9.
J. D. Murray: Mathematical Biology. 2 Bände. 3. edition, corrected printing. Springer, New York NY u. a. 2008, ISBN 978-0-387-95223-9 (Bd. 1), ISBN 978-0-387-95228-4 (Bd. 2), (Interdisciplinary applied mathematics 17–18).
Andreas W. Liehr: Dissipative Solitons in Reaction Diffusion Systems. Mechanism, Dynamics, Interaction. Volume 70 of Springer Series in Synergetics, Springer, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-31250-2