Primfaktorzerlegung
- Primzahl
Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer natürlichen Zahl
Definitionen
Sei
- wenn
ein Teiler von ist und eine Primzahl ist.
Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung der Zahl
.
Da die Multiplikation kommutativ und assoziativ ist, ist die Reihenfolge der Primfaktoren aus Sicht der Zahlentheorie unwichtig. Die Primfaktorzerlegung der Eins kann als leeres Produkt betrachtet werden. Wenn
Mehrfach auftretende Primfaktoren können mittels Exponenten-Schreibweise zusammengefasst werden. Sind die Primfaktoren aufsteigend geordnet, spricht man auch von der kanonischen Primfaktorzerlegung:
, wenn unter den Primfaktoren verschiedene sind.
Den Exponenten
Beispiele für Primfaktorzerlegungen
(Primzahl) (Zweierpotenz) , mit der kanonischen Darstellung (Zehnerpotenz)
Fundamentalsatz der Arithmetik
Die Aussagen für Existenz der Primfaktorzerlegung für jede natürliche Zahl und deren Eindeutigkeit in der kanonischen Darstellung sind der Fundamentalsatz der Arithmetik. Beide Aussagen werden getrennt formuliert und bewiesen. Die Beweise sind elementar, werden klassisch als Widerspruchsbeweis formuliert und nutzen die Wohlordnung der natürlichen Zahlen. Zum ersten Mal vollständig und korrekt bewiesen findet sich der Fundamentalsatz der Arithmetik in den Disquisitiones Arithmeticae von Carl Friedrich Gauß. Er war aber bereits — wenn auch in leicht abgewandelter Form — Euklid bekannt.
Beweis der Existenz
Der Eins wird das leere Produkt zugeordnet und jede Primzahl stellt selbst ihre Primfaktorzerlegung dar. Damit bleibt zu zeigen, dass alle restlichen natürlichen Zahlen tatsächlich aus Primfaktoren zusammengesetzt sind.
Angenommen, es gibt Zahlen, die sich nicht als Produkt von Primzahlen darstellen lassen, dann gibt es auch eine kleinste solche Zahl (genannt
Beweis der Eindeutigkeit
Angenommen, es gibt natürliche Zahlen mit jeweils mehreren unterschiedlichen Zerlegungen, dann auch wieder eine kleinste, genannt
Eigenschaften
- Bisher lässt die Primfaktorzerlegung von
wenig Rückschluss zu auf die Zerlegung von , außer dass sie keinen gemeinsamen Teiler haben können. Verwandt mit dieser Frage sind Primzahlzwillinge bzw. Primzahllücken. - Um die Primfaktorzerlegung einer Zahl zu berechnen, stehen mehrere Faktorisierungsverfahren zur Verfügung, die nichttriviale Teiler ganzer Zahlen berechnen. Diese Aufgabenstellung ist als Faktorisierungsproblem für ganze Zahlen bekannt und kann mit den bisher bekannten Methoden nicht effizient berechnet werden, worauf weltweit Sicherheitskonzepte beruhen, insbesondere in der modernen Kryptographie. Siehe auch Primzahltest.
- Hardy bewies mehrere erstaunliche statistische Erkenntnisse zum Thema, unter anderem, dass die durchschnittliche Anzahl von Primfaktoren für größer werdendes
nur sehr langsam anwächst und zwar wie , also der doppelt angewendete natürliche Logarithmus. Der Satz von Erdős-Kac besagt darüber hinaus, dass die Anzahl der Primfaktoren asymptotisch normalverteilt ist mit einem Erwartungswert und einer Standardabweichung .[1] (Zur Notation siehe Landau-Symbole.) - Der asymptotische arithmetische Mittelwert der maximalen Exponenten der Primfaktorzerlegungen der Zahlen 1, 2, 3, … ist die Niven-Konstante (rund 1,7), der asymptotische arithmetische Mittelwert der minimalen Exponenten ist genau 1.
Verallgemeinerung
Es gibt mehrere Möglichkeiten, Primzahlen zu verallgemeinern. Die bekannteste Anwendung sind die ganzen Zahlen, Primzahlen können dort auch ein negatives Vorzeichen haben. Andererseits ist dies schon ein spezielles Beispiel, da auch dort die Primfaktorzerlegung (bis auf Vorzeichen und Reihenfolge) eindeutig ist.
Ein allgemeiner Ansatz verlangt mindestens einen Begriff der Teilbarkeit innerhalb der mathematischen Struktur. David Hilbert bewies, dass für die gewünschte Eindeutigkeit eine additive Struktur zwingend notwendig ist. Üblicherweise wird von einem kommutativen Ring mit Eins ausgegangen, dort können Primelemente definiert werden, (für die dann Euklids Lemma gilt), ist der Ring auch noch nullteilerfrei (also ein Integritätsring), kann es zusätzlich irreduzible Elemente geben, die nicht prim genannt werden können. Sie werden anders definiert, sind aber trotzdem unzerlegbar und enthalten die Primelemente als Teilmenge.
Für einen Ring
In allgemeinen Integritätsringen ist das nicht immer so. Man muss deren Eindeutigkeit explizit fordern, was zur Definition von faktoriellen Ringen führt. Mit dieser Forderung lässt sich dann aber dort auch schon die Äquivalenz von irreduzibel und prim folgern: Faktorielle Ringe sind ZPE-Ringe. Ein etwas anderer Ansatz wird mit Primidealen verfolgt.
Beispiele
- In dem Integritätsring
sind die Elemente irreduzibel und keine zwei sind zueinander assoziiert. Aber es gilt: . Man kann also nicht von einer Primfaktorzerlegung sprechen. - Ein irreduzibles Polynom heißt Primpolynom, wenn der Leitkoeffizient gleich
ist. Im Polynomring über einem Körper ist jedes nichtkonstante Polynom im Wesentlichen eindeutig als Produkt von Primpolynomen darstellbar.[2] - Sowohl in den gaußschen Zahlen als auch den Eisenstein-Zahlen existiert stets eine Primfaktorzerlegung. (außer für die 0)
Praktische Anwendung
Aus der Primfaktorenzerlegung lässt sich erkennen, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist. Das kleinste gemeinsame Vielfache kgV und der größte gemeinsame Teiler ggT können leicht aus der Primfaktorenzerlegung bestimmt werden. In der Bruchrechnung können Brüche durch den ggT von Zähler und Nenner gekürzt werden, und zwei Brüche können auf den kleinsten gemeinsamen Nenner erweitert werden, um leichter addieren oder subtrahieren zu können.
Kryptographie
Eine wichtige Rolle spielen Primzahlen in der Kryptographie. Verschlüsselungssysteme wie RSA basieren darauf, dass kein effizientes Faktorisierungsverfahren bekannt ist. So ist es innerhalb von Sekunden problemlos möglich, zwei 500-stellige Primzahlen zu finden und miteinander zu multiplizieren. Mit den heutigen Methoden würde die Rückgewinnung der beiden Primfaktoren aus diesem 999-stelligen oder 1000-stelligen Produkt dagegen sehr lange Zeit dauern.
Literatur
- Jürgen Wolfart: Einführung in die Algebra und Zahlentheorie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1996, ISBN 3-528-07286-5.
Weblinks
- Factorization database von Markus Tervooren – schnelle Verarbeitung, bis zu 200.000 Dezimalstellen
- Die Primzahlseite von Arndt Brünner – benötigt JavaScript, enthält u.a. Primfaktorzerlegung
- Factorization using the Elliptic Curve Method – Java-Applet, verarbeitet Eingaben bis 10.000 Dezimalstellen