Kleinstes gemeinsames Vielfaches
- Zahlentheoretische Funktion
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist ein mathematischer Begriff. Sein Pendant ist der größte gemeinsame Teiler (ggT). Beide spielen unter anderem in der Bruchrechnung und der Zahlentheorie eine Rolle.
Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen
Die englische Bezeichnung lcm (least common multiple) für das kgV ist in mathematischen Texten ebenfalls verbreitet.
Beispiel zur kgV-Berechnung
- Die Vielfachen von 12 sind: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, …
- Die Vielfachen von 18 sind: 18, 36, 54, 72, 90, 108, …
- Die gemeinsamen Vielfachen von 12 und 18 sind also 36, 72, 108, …
- und das kleinste von diesen ist 36; in Zeichen:
Berechnung über die Primfaktorzerlegung
GgT und kgV kann man über die Primfaktorzerlegung der beiden gegebenen Zahlen bestimmen. Beispiel:
Für das kgV nimmt man die Primfaktoren, die in mindestens einer der beiden Zerlegungen vorkommen, und als zugehörigen Exponenten den jeweils größeren der Ausgangsexponenten:
Das kgV von mehreren Zahlen
Man verwendet alle Primfaktoren, die in irgendeiner der Zahlen vorkommen, mit der jeweils höchsten vorkommenden Potenz, zum Beispiel:
also:
Man könnte auch zunächst
Dies rechtfertigt die Schreibweise
Anwendungen
Bruchrechnung
Angenommen, wir möchten die Brüche
Anwendungen in weiteren algebraischen Strukturen
Das
Dann ist
.
Die Division mit Rest, die auch für Polynome existiert, erleichtert das Auffinden von gemeinsamen Teilern.
Analog zum ggT ist das
Formal schreibt man diese Definition für einen Ring
Diese allgemeinere Definition lässt sich auf mehrere Zahlen ausweiten (sogar auf unendlich viele).
Beispiele
Gaußscher Zahlenring
Im gaußschen Zahlenring
Nicht in jedem Ring existiert für zwei Elemente ein ggT oder ein kgV. Wenn sie einen ggT haben, können sie mehrere ggT haben. Ist der Ring ein Integritätsring, dann sind alle ggT zueinander assoziiert, in Zeichen
Ist
Ist jedoch nur bekannt, dass ein ggT von
Integritätsring
Im Integritätsring
keinen ggT: Die Elemente
Die genannten Elemente
Ein Integritätsring, in dem je zwei Elemente einen ggT besitzen, heißt ggT-Ring oder ggT-Bereich. In einem ggT-Ring haben je zwei Elemente auch ein kgV.
In einem faktoriellen Ring haben je zwei Elemente einen ggT.
In einem euklidischen Ring lässt sich der ggT zweier Elemente mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen.
Zusammenhang zwischen kgV und dem größten gemeinsamen Teiler
Es gilt die folgende Formel:
Damit lässt sich das kgV berechnen, falls der ggT (z. B. mit dem euklidischen Algorithmus) bereits bestimmt wurde. Umgekehrt kann man mit dieser Formel auch den ggT aus dem kgV berechnen.
Weblinks
Wikibooks: Algorithmensammlung - Euklidischer Algorithmus und kgV – Lern- und Lehrmaterialien
- Online-Tool zur Berechnung des ggT und des kgV von zwei oder drei Zahlen
- Verschiedene Online-Tools zur Primfaktorzerlegung, ggT und kgV.