Legendre-Transformation
Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik eingetragen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen.
Bitte hilf mit, die Mängel dieses Artikels zu beseitigen, und beteilige dich bitte an der Diskussion! (Artikel eintragen) |
Die Legendre-Transformation (nach Adrien-Marie Legendre) gehört zu den Berührungstransformationen und dient als wichtiges mathematisches Verfahren zur Variablentransformation. Sie transformiert von einer Funktion
Herleitung
Ziel der Legendre-Transformation ist die Änderung der Abhängigkeit einer Funktion
.
Wenn man für die von
,
dann soll für die von
.
Bilden wir zunächst das totale Differential von
.
Der Vergleich mit
.
Daraus schließen wir
,
Nach einer Integration gilt also
.
Die Funktion
Geometrische Bedeutung der Legendre-Transformation
Geometrisch lässt sich der Sachverhalt wie in Abbildung 1 veranschaulichen: Die Kurve (rot) kann, statt die Punktmenge anzugeben, aus der sie besteht, auch durch die Menge aller Tangenten charakterisiert werden, die sie einhüllen. Genau das passiert bei der Legendre-Transformation. Die Transformierte,
Bei Abhängigkeit von mehreren Variablen
Die Änderung der Abhängigkeit einer Funktion
.
Hierbei stellt
Die Legendre-Transformierte lässt sich wie folgt herleiten. Der Wert von
geschrieben werden. Definiert man nun
.
Meistens wird
.
Für letztere Definition ist die Legendre-Transformierte die
Praktisch erfolgt also der Austausch der unabhängigen Variablen durch Subtraktion des Produkts aus alter und neuer Variable
.
Dies wird auch bei Betrachtung des totalen Differentials der Legendre-Transformierten deutlich:
.
Anwendungsgebiete
Verwendung in der Physik findet die Legendre-Transformation vor allem in der (statistischen) Thermodynamik (z. B. Umwandlung der Fundamentalgleichung bzw. beim Übergang zwischen thermodynamischen Potentialen unter verschiedenen Randbedingungen) und beim Übergang von der Lagrangeschen zur Hamiltonschen Mechanik (Lagrange-Funktion zu Hamilton-Funktion). In der Thermodynamik verwendet man die untere Vorzeichenkonvention (
Die Legendre-Transformation spielt - wie die Berührungstransformationen insgesamt - des Weiteren eine Rolle in der Mechanik, der Variationsrechnung und in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung. In der Mechanik verwendet man die obere Vorzeichenkonvention (
Beispiele
In der Mechanik gewinnt man durch Legendre-Transformation aus der Lagrangefunktion die Hamiltonfunktion und umgekehrt:
In der Thermodynamik kann man durch Legendre-Transformation aus der Fundamentalgleichung der Thermodynamik die thermodynamischen Potentiale ableiten. Dabei findet beispielsweise ein Übergang von der inneren Energie U (abhängig von der Entropie S) zur Helmholtz-Energie F (abhängig von der Temperatur T) statt. Im Fall eines idealen Gases gilt also:
Die hier verwendete Ableitungsnotation bedeutet Ableitung der Funktion U(S,V,N) nach S, wobei V und N konstant gehalten werden.
Analog dazu ist auch ein Übergang von einem thermodynamischen Potential zu einem anderen möglich, beispielsweise von der Enthalpie H zur Gibbs-Energie G:
Auf die gleiche Weise erhält man auch die anderen thermodynamischen Potentiale, wobei durch eine Legendre-Transformation immer eine generalisierte Koordinate durch die konjugierte thermodynamische Kraft ersetzt wird.
Weblinks
Making Sense of the Legendre Transform by R. K. P. Zia, Edward F. Redish and Susan R. McKay