D’Alembertoperator

Der d’Alembert-Operator (nach Jean Baptiste le Rond d’Alembert) ist ein linearer Differentialoperator zweiter Ordnung, der eine Verallgemeinerung des Laplaceoperators im vierdimensionalen Minkowskiraum darstellt. Er wird meist als Viereck Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \square notiert und dementsprechand auch als Viereckoperator, Quabla (vgl. Nabla) oder (aus dem Englischen kommend) als Box-Operator bezeichnet.

Der d’Alembert-Operator heißt auch Wellenoperator, weil er zentraler Bestandteil der Wellengleichung sowie der allgemeineren Klein-Gordon-Gleichung ist.

Definition

Im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie (SRT) wird der Vierergradient, ein kovarianter Vektor, durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial_\mu=\left(\partial_{ct},\nabla \right)=\left(\partial_{ct},\partial_x,\partial_y ,\partial_z \right) .

definiert. Die kontravarianten Komponenten ergeben sich durch Heraufziehen des kovarianten Index zu:

\partial ^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }\partial _{\nu }=\left(\partial _{ct},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)

Durch Kombination der beiden Operatoren lässt sich der lorentzinvariante d’Alembert-Operator bilden:

\square :=\partial ^{\mu }\partial _{\mu }={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}-\Delta

Er enthält nur zweite Ableitungen.

Vorzeichenkonventionen

Wie in der SRT üblich sind die Vorzeichen von der Signatur der Metrik abhängig. Oft wird - wie oben - in der SRT die Konvention (+,−,−,−) für die Signatur der Minkowski-Metrik verwendet, ansonsten benutzt man die Konvention (−,+,+,+). ^[1] Für die erste Signatur ergibt sich der d’Alembert-Operator, wie oben bereits gezeigt, zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \square = \frac{\partial ^2}{c^2\partial t^2} - \Delta

Für die andere Signatur ergibt sich analog:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \square = \Delta - \frac{\partial ^2}{c^2\partial t^2} ^[2]

Beide Ergebnisse sind gebräuchlich. Sie unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen. Als Konsequenz bleibt insbesondere festzuhalten, dass die Wellengleichung (siehe unten) nicht von der gewählten Konvention abhängt:

Wellengleichung

Ursprünglich kommt der d'Alembert-Operator aus der Elektrodynamik und ergibt sich bei der Herleitung der Wellengleichung. Hieran ist deutlich zu erkennen ^[3], dass es sich bei der Elektrodynamik um eine relativistische Theorie handelt. Zudem ist der d'Alembert-Operator ein Lorentz-Skalar und somit invariant unter Lorentz-Transformationen. Er spielt damit auch eine wichtige Rolle in der relativistischen Elektrodynamik. Unter Verwendung des d'Alembert-Operators kann für eine Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f(x,t) die Wellengleichung in einer sehr kompakten Form geschrieben werden

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \square f = 0

Greensche Funktion

Eine Greensche Funktion $$ G(t,t',x,x') $$ des d'Alembert-Operators erfüllt als dessen Rechtsinverses die Definitionsgleichung

\square (t,\mathbf {x} )G(t-t^{\prime },\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime })=\delta (t-t^{\prime })\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime })

.

Dabei bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \delta die Diracsche Delta-Distribution. Da es sich um einen nicht explizit zeit- und ortsabhängigen Operator handelt, hängt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G nur von den Differenzen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (t - t') sowie $$ (x-x') $$ ab, weshalb wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit die gestrichenen Koordinaten null setzen können. Für die Fouriertransformierte $G(\omega ,k)$

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G(t, \mathbf x) = \frac1{(2\pi)^4} \iint d\omega\ d^3\mathbf k\; \mathrm{e}^{\imath(\omega t-\mathbf{kx})}\ G(\omega, \mathbf k)

ergibt sich dann folgende algebraische Gleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G(\omega, \mathbf k) = \frac 1{-(\omega/c)^2 + k^2}

Die Polstellen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G(\omega,k) liegen genau dort, wo die Dispersionsrelation für elektromagnetische Wellen im Vakuum (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega^2=c^2k^2 ) erfüllt ist. Die Lösungen der homogenen Wellengleichung fallen also genau mit den Polen der Greenschen Funktion zusammen, was ein für Antwortfunktionen typisches Resonanzverhalten ist.

Um die Rücktransformation durchführen zu können, betrachten wir die analytische Fortsetzung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G(\omega,k) für komplexe Frequenzen. Mit Hilfe des Residuenkalküls kann man die Pole bei $|\omega |=ck$ „umschiffen“, wobei verschiedene Pfade verschiedenen Randbedingungen entsprechen. Man unterscheidet:

Typ	$G(\omega ,\mathbf {k} )$	$$ G(t,x) $$
Retardiert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G^+	${\frac {1}{-(\omega /c)^{2}+(k+\imath \epsilon )^{2}}}$	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac 1{4\pi x} \delta\left(t - \frac xc\right)\Theta(t)
Avanciert $G^{-}$	${\frac {1}{-(\omega /c)^{2}+(k-\imath \epsilon )^{2}}}$	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac 1{4\pi x} \delta\left(t + \frac xc\right)\Theta(-t)

Die Greensche Funktion im Frequenzraum ist dabei im Grenzwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \epsilon\to0^+ zu verstehen, was den verschiedenen Pfaden um die Pole im Integral entspricht.

Der Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t-x/c entspricht dem Ausbreitungsgesetz einer Kugelwelle.

Einzelnachweise und Fußnoten

↑ Sehr selten benutzt man auch die „komplexe“ Signatur (i,1,1,1), bei der wegen der formalen Identität i²=-1 kontravariante und kovariante Vektorkomponenten nicht explizit unterschieden werden müssen, sondern alles „wie in der elementaren Vektorrechnung“ zu funktionieren scheint, wofür man sich aber an anderer Stelle schwerwiegende Nachteile einhandelt.
↑ Dasselbe Ergebnis ergibt sich auch mit der gerade genannten „komplexen“ Signatur.
↑ Diese Erkenntnis wäre schon möglich gewesen bevor Einsteins SRT entstand.

Literatur

Torsten Fließbach: Elektrodynamik. Lehrbuch zur theoretischen Physik II, 5. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag

[1] Sehr selten benutzt man auch die „komplexe“ Signatur (i,1,1,1), bei der wegen der formalen Identität i²=-1 kontravariante und kovariante Vektorkomponenten nicht explizit unterschieden werden müssen, sondern alles „wie in der elementaren Vektorrechnung“ zu funktionieren scheint, wofür man sich aber an anderer Stelle schwerwiegende Nachteile einhandelt.

[2] Dasselbe Ergebnis ergibt sich auch mit der gerade genannten „komplexen“ Signatur.

[3] Diese Erkenntnis wäre schon möglich gewesen bevor Einsteins SRT entstand.

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