Cent (Musik)
Einheit | |
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Norm | Hilfsmaßeinheit |
Einheitenname | Cent |
Einheitenzeichen | ¢, C |
Beschriebene Größe(n) | Tonhöhenintervall |
Größensymbol(e) | |
Dimensionsname | 1 (dimensionslos) |
Das Cent (von lat. centum „hundert“) dient als logarithmische Maßeinheit für musikalische Intervalle. Der Name kommt daher, dass ein gleichstufiger Halbton in 100 Schritte geteilt wird. Da eine Oktave zwölf Halbtöne umfasst, entspricht sie 1200 Cent. Die Einheit Cent ist in DIN 13320 genormt (siehe unten) und entspricht einem Frequenz-Verhältnis von
Mittels Angaben in Cent können verschiedene Tonsysteme und Stimmungen bequem verglichen werden. Der Tonhöhenvergleich mittels dieser Einheit hat den Vorteil, dass er dem additiven Intervall-Empfinden des Gehörs entspricht. Er ist damit praxisnäher als die Angaben zu Frequenz-Verhältnissen, bei denen ein Größenvergleich nicht unmittelbar möglich ist.
Die Berechnung erfolgt logarithmisch. Ist
Diatonische Intervalle |
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Prime Sekunde Terz Quarte Quinte Sexte Septime Oktave None Dezime Undezime Duodezime Tredezime Halbton/Ganzton |
Besondere Intervalle |
Mikrointervall Komma Diësis Limma Apotome Ditonus Tritonus Wolfsquinte |
Maßeinheiten |
Cent Millioktave Oktave Savart |
Mathematische Präzisierung der Definition
Das Wort Cent bezeichnet sowohl ein Tonhöhenintervall mit dem Frequenzverhältnis (Proportion)
als auch eine hierauf verweisende dimensionslose Hilfsmaßeinheit.
Für das logarithmische Frequenzintervall Cent gilt nämlich:
Zur Verdeutlichung wird allerdings meist noch die Hilfsmaßeinheit Oktave hinzugefügt, so dass folgende anschauliche Definitionsgleichung entsteht:
Entstehung
Die Bezeichnung Cent wurde 1875 von Alexander John Ellis (1814–1890) im Anhang zu seiner Übersetzung von Hermann von Helmholtz' „Lehre von den Tonempfindungen“ als Einheit zum Größenvergleich von Intervallen vorgeschlagen.
Die Cent-Einheit ist so gewählt, dass wahrnehmbare Frequenzunterschiede hinreichend genau als ganzzahlige Vielfache von Cents ausgedrückt werden können. Grob kann angenommen werden, dass der kleinste erkennbare Frequenzunterschied für Sinustöne beim Menschen bei Frequenzen ab 1000 Hz bei etwa drei bis sechs Cent liegt. Geringere Intervallunterschiede werden beim Nacheinander-Erklingen der Töne nicht mehr erkannt. Bei gleichzeitigem Erklingen sind durch Schwebungseffekte noch wesentlich geringere Intervallunterschiede hörbar. Bei größeren Tonabständen lassen sich Intervallgrößen durch Schwebungen der harmonischen Obertöne sehr genau bestimmen, die in musikalisch verwendeten Tönen meistens vorhanden sind. Bei tiefen Sinustönen mit geringer Lautstärke steigt hingegen die Unterscheidungsschwelle auf über 100 Cent, also einem Halbton.
Die Verwendung in der musikalischen Praxis
Vor allem für die Darstellung der feinen Unterschiede der Intervalle in den verschiedenen mitteltönigen und wohltemperierten Stimmungen verwendet man die Einheit Cent.
Um möglichst viele Tonarten (bei einer zwölfstufigen Skala der Oktave) spielbar zu machen, muss man Verstimmungen bei reinen Quinten und Terzen in Kauf nehmen.
Bei den mitteltönigen Stimmungen treten Abweichungen bis etwa 8 Cent auf, wenn nur C-Dur nahe Akkorde verwendet werden.
Beispiel: | Mitteltönige Quinte
697 Cent (Leichte Schwebungen zu hören) |
Reine Quinte
702 Cent (Keine Schwebungen) |
Mit 14 Cent Abweichung hat man sich abzufinden, wenn man auf Tasteninstrumenten alle Tonleitern nutzen will. Dabei wird ausgenutzt, dass das menschliche Gehör sich „die Intervalle zurechthört“.
Beispiel: (Zuerst die Terz, dann im Akkord) |
Gleichstufige große Terz (220 Hz 277Hz)
400 Cent (Das Intervall kling „rau“: viele Schwebungen) |
Reine große Terz(220 Hz und 275 Hz)
386 Cent (Keine Schwebungen) |
Noch größere Abweichungen wie etwa die „Wolfsquinte“ der mitteltönigen Stimmung bei stark von C-Dur entfernten Tonarten werden von Musikern nicht geduldet.
Tabellen der mehr oder weniger reinen Terzen und Quinten in verschiedenen Stimmungssystemen: Siehe Stimmung.
Bei dem Centmaß handelt sich um ein logarithmisches Maß im Vergleich zu den Frequenzverhältnissen, wie man an folgender Tabelle erkennt.
Frequenzverhältnis Intervall 2:1 1 Oktave = 1200 Cent. 4:1 2 Oktaven = 2400 Cent. 8:1 3 Oktaven = 3600 Cent. ... k Oktaven = .Berechnung über den Logarithmus[3] 3:2 Quinte = .4:3 Quarte = .5:4 Große Terz = .6:5 Kleine Terz = .
Werden Intervalle hintereinander ausgeführt, kann man ihre Größen in Cent addieren (während ihre Frequenzverhältnisse multipliziert werden müssen). Insofern ist es berechtigt, Intervalle als Vielfache von 1 Cent anzugeben und sie zu addieren.
Beispiel:
Quinte + Quarte = 702 Cent + 498 Cent = 1200 Cent = Oktave. (Frequenzverhältnisse: 3/2·4/3 = 2/1.)
Kleine Terz + große Terz = 316 Cent + 386 Cent = 702 Cent = Quinte. (Frequenzverhältnisse: 6/5·5/4 = 3/2.)
Umrechnung von Proportionen in Cent
Gegeben sei die Proportion (Frequenzverhältnis)
Diese Gleichung übersetzt die multiplikativen akustischen Proportionen in die additiven logarithmischen Intervallmaße (Beispiel unten).
Mit
Nach Umrechnung des Zweier-Logarithmus in einen Zehner-Logarithmus über die Gleichung
.
Beispiele aus der Musiktheorie
Ein Dreiklang besteht aus einer reinen großen Terz und einer reinen kleinen Terz, die sich zur reinen Quinte summieren („rein“ ist hier nicht im Unterschied zu „vermindert“ und „übermäßig“ gemeint, sondern in der Bedeutung „nicht temperiert“, mit dem genauen Frequenzverhältnis 3:2, so dass auch der Begriff „reine“ Terz sinnvoll ist; siehe auch Reine Stimmung).
In der meistens ausreichenden Näherung mit ganzen Zahlen von Cents ergibt sich:
Intervall mit Proportion Intervall in Centreine kleine Terz 6/5 reine große Terz 5/4 reine Quinte 3/2
Die Additionsgleichung der Dreiklangsintervalle entspricht der Multiplikation der Proportionen in Brüchen ausgedrückt:
- reine große Terz + reine kleine Terz = reine Quinte
Umrechnung von Cent in Proportionen
Die umgekehrte Umrechnung von Cent in Proportion (Frequenzverhältnis) wird seltener benötigt. Zur Berechnung der Proportion
.
Mit bekannten Rechenregeln für Potenzen ergibt sich folgende Näherung für den Taschenrechner:
.
Bei den Dreiklangsintervallen erhält man folgende Umrechnung:
Intervall in CentProportion Intervall 316 Cent reine kleine Terz 386 Cent reine große Terz 702 Cent reine Quinte
Berechnung von Frequenzen
Der oben genannte Faktor
Beispiele einiger als Stimmton a' verwendeter Frequenzen, von 440 Hz ausgehend:
- Erhöhung um 1 Cent:
- Erhöhung um 100 Cent:
- Verringerung um 1 Cent:
- Verringerung um 100 Cent:
Beispiel aus der Musiktheorie
Der Ton a' hat die Frequenz von 440 Hz. Der Ton c'' liegt eine kleine Terz darüber.
Der Ton c'' hat demnach in reiner Stimmung (Frequenzverhältnis der kleinen Terz: 6:5) die Frequenz
DIN-Norm
Nach DIN 13320 „Akustik; Spektren und Übertragungskurven; Begriffe, Darstellung“[5] bezeichnet Cent ein Frequenzmaßintervall, dessen Frequenzverhältnis
Absolutes Cent
Man kann auch dem gesamten Frequenzbereich eine Skala fester Cent-Werte zuordnen. Zur Berechnung dieses absoluten Cents wird 1 Hz = 0 Cent gesetzt. Es ergeben sich dann: 2 Hz = 1200 Cent, 4 Hz = 2400 Cent usw. mit den entsprechenden Zwischenwerten. [6]
Siehe auch
Literatur
- Hermann von Helmholtz: Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik. Vieweg, Braunschweig 1863, Nachdruck: Minerva-Verlag, Frankfurt/Main 1981, ISBN 3-8102-0715-2 (Auszug)
- John R. Pierce: Klang. Musik mit den Ohren der Physik. Spektrum, ISBN 3-8274-0544-0.
Weblinks
- Intervall Umrechnung: Frequenzverhältnis nach Cent und Cent nach Frequenz (ratio)
- Umrechnung Cent in Frequenzverhältnis Ratio und zurück in Excel
- Hermann Helmholtz: Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik
- "Das Centmaß für Intervalle" von Joachim Mohr
Anmerkungen
- ↑ Zum Beispiel hat die Quinte das Frequenzverhältnis
. Ihre Größe berechnet sich dann zu - ↑
Herleitung:
Das (auch Proportion genannte) noch unbekannte Frequenzverhältnis
von einem Cent ist aus der Beziehung 1200 Cent = 1 Oktave (Frequenzverhältnis 2:1) zu bestimmen. Da die Frequenzverhältnisse bei der Hintereinanderausführung von Intervallen multipliziert werden, gilt für das Frequenzverhältnis von 1200 Cent die Beziehung . Daraus folgt . - ↑ Man beachte dabei die Beziehung:
. Wird zum Beispiel für das Frequenzverhältnis die Zahl gesucht, mit der ich 2 potenzieren muss, damit ich erhalte, muss ich auflösen zu Siehe Tonstruktur_(mathematische_Beschreibung)#Intervallraum. - ↑ Im Normalfall sollte
sein. Wenn es umgekehrt ist, wird das Umrechnungsergebnis negativ mit dem gleichen Absolutwert. - ↑ Webseite zur DIN 13320 beim Beuth Verlag
- ↑ Riemann Musiklexikon, Sachteil, Mainz 1967, S. 150