Zugeordnete Legendrepolynome

Bei zugeordneten Legendrepolynomen bzw. assoziierten Legendrepolynomen, auch zugeordnete Kugelfunktionen genannt, handelt es sich um Funktionen, die in der Mathematik und theoretischen Physik verwendet werden. Da nicht alle zugeordneten Legendrepolynome wirklich Polynome sind, sprechen viele Autoren auch von zugeordneten bzw. assoziierten Legendrefunktionen.

Die zugeordneten Legendrepolynome sind die Lösungen der allgemeinen Legendregleichung:

$ (1-x^{2})\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}\,y}{\mathrm {d} x^{2}}}-2x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0 $

Diese gewöhnliche Differentialgleichung hat nicht-singuläre Lösungen im Intervall $ [-1,1] $ nur dann, wenn $ \ell \, $ und $ m\, $ ganzzahlig sind mit $ 0\leq m\leq \ell $.

Man begegnet der allgemeinen Legendregleichung (und damit den zugeordneten Legendrepolynomen) häufig in der Physik, insbesondere wenn eine sphärische Symmetrie vorliegt, wie beispielsweise im Zentralpotential. Hier lassen sich die Laplacegleichung sowie verwandte partielle Differentialgleichungen oft auf die allgemeine Legendregleichung zurückführen. Das prominenteste Beispiel hierfür ist die quantenmechanische Lösung der Energiezustände des Wasserstoffatoms.

Definition

Die zugeordneten Legendrepolynome werden als $ P_{\ell }^{(m)}(x) $ bezeichnet. Am einfachsten lassen sie sich als Ableitungen von gewöhnlichen Legendrepolynomen definieren:

$ P_{\ell }^{(m)}(x)=(-1)^{m}\left(1-x^{2}\right)^{m/2}{\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} x^{m}}}P_{\ell }(x) $

wobei $ P_{\ell }(x) $ das $ \ell $-te Legendrepolynom ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_\ell(x) = \frac{1}{2^\ell \, \ell!} \, \frac{\mathrm{d}^\ell}{\mathrm{d}x^\ell} \left(x^2-1\right)^\ell .

Daraus ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_\ell^{(m)}(x) = \frac{(-1)^m}{2^\ell \, \ell!} \left(1-x^2\right)^{m/2} \frac{\mathrm{d}^{\ell+m}}{\mathrm{d}x^{\ell+m}} \left(x^2-1\right)^\ell.

Zusammenhang mit Legendrepolynomen

Die verallgemeinerte Legendregleichung geht für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m = 0 in die Legendregleichung über, sodass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_\ell^{(0)}(x) = P_{\ell}(x) gilt.

Orthogonalität

Für die zugeordneten Legendrepolynome gelten im Intervall I = [-1,1] zwei Orthogonalitätsrelationen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int\limits_{-1}^{+1} P_\ell^{(m)}(x) \, P_k^{(m)}(x) \, \mathrm{d}x = \frac{2}{2\,\ell+1} \, \frac{(\ell+m)!}{(\ell-m)!} \, \delta_{\ell k}.

$ \int \limits _{-1}^{+1}P_{\ell }^{(m)}(x)\,P_{\ell }^{(n)}(x)\cdot {\frac {1}{1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {(\ell +m)!}{(\ell -m)!}}\,\delta _{mn}. $

Das zweite Integral ist allerdings nur definiert, wenn entweder m oder n ungleich 0 ist.

Zusammenhang mit der Einheitskugel

Am wichtigsten ist der Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x = \cos \vartheta . Die zugeordnete Legendre-Gleichung lautet dann

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} \vartheta^2} + \frac{\cos \vartheta}{\sin \vartheta} \, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} \vartheta} + \left[ \ell\,(\ell+1) - \frac{m^2}{\sin^2 \vartheta} \right] y = 0.

Da nach der Substitutionsregel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int_0^\pi f(\cos \vartheta) \sin \vartheta \, \mathrm{d} \vartheta = \int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d}x

gilt, übertragen sich obige Orthogonalitätsrelationen ohne weiteres auf die Einheitskugel.

Über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_\ell^{(m)}(\cos \vartheta) werden die sog. Kugelflächenfunktionen definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Y_\ell^{(m)}(\varphi,\vartheta) = \sqrt{\frac{2\,\ell + 1}{4\,\pi} \, \frac{(\ell - m)!}{(\ell + m)!}} \, P_\ell^{(m)}(\cos \vartheta) \, \mathrm{e}^{i\,m\,\varphi},

welche auf der Einheitskugel ein vollständiges Orthonormalsystem bilden.

Die ersten zugeordneten Legendrepolynome

Für die zugeordneten Legendrepolynome gilt folgende Rekursionsformel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\ell-m) \, P_\ell^{(m)}(x) = x\,(2\,\ell-1) \, P_{\ell-1}^{(m)}(x) - (\ell+m-1)\,P_{\ell-2}^{(m)}(x).

Die ersten Legendrepolynomen bestimmen sich damit zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_0^{(0)}(x) = 1\!\,

$ P_{1}^{(0)}(x)=x\!\, $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_1^{(1)}(x) = -\sqrt{1 - x^2}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_2^{(0)}(x) = \frac{1}{2}\,(3\,x^2 - 1)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_2^{(1)}(x) = -3\,x\sqrt{1-x^2}

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Und mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \cos\vartheta als Argument

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_0^{(0)}(\cos\vartheta) = 1

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_1^{(0)}(\cos\vartheta) = \cos\vartheta

$ P_{1}^{(1)}(\cos \vartheta )=-\sin \vartheta $

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_2^{(0)}(\cos\vartheta) = \frac{1}{2}\,(3\,\cos^2\vartheta - 1)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_2^{(1)}(\cos\vartheta) = -3\,\sin\vartheta\,\cos\vartheta

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_2^{(2)}(\cos\vartheta) = 3\,\sin^2\vartheta

Zugeordnete Legendrefunktionen 2. Art

Ähnlich wie bei der Legendreschen Gleichung stellen die zugeordneten Legendrepolynome Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P_\ell^{(m)}(x) nur eine Gruppe von Lösungsfunktionen der verallgemeinerten Legendreschen Gleichung dar. Die zugeordneten Legendrefunktionen 2. Art Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Q_\ell^{(m)}(x) stellen ebenso Lösungen dar. Auch für sie gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Q_\ell^{(0)} = Q_\ell mit den Legendrefunktionen 2. Art Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Q_\ell(x) .

Weblinks

• Legendrefunktionen in der NIST Digital Library of Mathematical Functions. (englisch)
• Eric W. Weisstein: Associated Legendre Polynomial. In: MathWorld. (englisch)

Literatur

• Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik, 2 Bde., Springer Verlag, 1968
• Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators, American Mathematical Society, 2009 (Freie Online-Version)