In der Quantenmechanik werden physikalische Größen oder Prozesse durch eine lineare Abbildung im Hilbertraum der Zustandsvektoren wiedergegeben. Die Abbildung bekommt als Symbol einen Operator $ {\hat {O}} $ (z.B. für die physikalische Messgröße x-Koordinate das Symbol $ {\hat {x}} $. für die Energie E den Hamilton-Operator $ {\hat {H}} $). Ist eine Basis von Zustandsvektoren $ \vert \phi _{n}\rangle ,\ (n=1,2,\dots )\ \ $ gegeben, kann der Operator $ {\hat {O}} $ vollständig durch eine Matrix mit den Elementen $ O_{mn}:=\langle \phi _{m}\vert {\hat {O}}\vert \phi _{n}\rangle $ wiedergegeben werden. Das Matrixelement $ \,O_{mn} $ besagt, mit welcher Komponente der Basisvektor $ \vert \phi _{m}\rangle $ in dem Vektor enthalten ist, der durch Anwendung von $ {\hat {O}} $ auf den Basisvektor $ \vert \phi _{n}\rangle $ entstanden ist.
