Madelunggleichungen

Die Madelunggleichungen sind eine von Erwin Madelung (1881-1972) formulierte Alternative der Schrödingergleichung.

Ersetzt man dort die komplexe Funktion $\psi$ durch ihren Betrag Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho und ihre Phase $S$ gemäß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi= \sqrt{\rho} e^{\frac{i}{\hbar} S} , so erhält man die Madelunggleichungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial_t \rho +\frac{1}{m}\nabla(\rho\nabla S)= 0

${\partial }_{t}S+\frac{1}{2m}(\mathrm{\nabla }S{)}^2+V(x)-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{\mathrm{\Delta }\sqrt{\rho }}{\sqrt{\rho }}=0.$

Die erste hat die Form einer Kontinuitätsgleichung,

die zweite ist eine Hamilton-Jacobi-Gleichung (siehe Kanonische Gleichungen).

$S$ wird als Wirkung interpretiert, $\mathrm{\nabla }S$ als Impuls.

Aufgrund ihrer Nichtlinearität sind die Madelunggleichungen schwierig zu handhaben, zeigen aber, dass es nichtlineare Gleichungen gibt, die sich auf lineare Gleichungen zurückführen lassen.