Madelunggleichungen

Die Madelunggleichungen sind eine von Erwin Madelung (1881-1972) formulierte Alternative der Schrödingergleichung.

Ersetzt man dort die komplexe Funktion $ \psi $ durch ihren Betrag $ \rho $ und ihre Phase $ S $ gemäß $ \psi ={\sqrt {\rho }}e^{{\frac {i}{\hbar }}S} $, so erhält man die Madelunggleichungen:

$ \partial _{t}\rho +{\frac {1}{m}}\nabla (\rho \nabla S)=0 $

$ \partial _{t}S+{\frac {1}{2m}}(\nabla S)^{2}+V(x)-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\Delta {\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=0. $

Die erste hat die Form einer Kontinuitätsgleichung,

die zweite ist eine Hamilton-Jacobi-Gleichung (siehe Kanonische Gleichungen).

$ S $ wird als Wirkung interpretiert, $ \nabla S $ als Impuls.

Aufgrund ihrer Nichtlinearität sind die Madelunggleichungen schwierig zu handhaben, zeigen aber, dass es nichtlineare Gleichungen gibt, die sich auf lineare Gleichungen zurückführen lassen.