Madelunggleichungen

Die Madelunggleichungen sind eine von Erwin Madelung (1881-1972) formulierte Alternative der Schrödingergleichung.

Ersetzt man dort die komplexe Funktion $\psi$ durch ihren Betrag $\rho$ und ihre Phase $S$ gemäß $\psi =\sqrt{\rho }{e}^{\frac{i}{\hslash }S}$, so erhält man die Madelunggleichungen:

${\partial }_t\rho +\frac{1}{m}\mathrm{\nabla }(\rho \mathrm{\nabla }S)=0$

${\partial }_{t}S+\frac{1}{2m}(\mathrm{\nabla }S{)}^2+V(x)-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{\mathrm{\Delta }\sqrt{\rho }}{\sqrt{\rho }}=0.$

Die erste hat die Form einer Kontinuitätsgleichung,

die zweite ist eine Hamilton-Jacobi-Gleichung (siehe Kanonische Gleichungen).

$S$ wird als Wirkung interpretiert, $\mathrm{\nabla }S$ als Impuls.

Aufgrund ihrer Nichtlinearität sind die Madelunggleichungen schwierig zu handhaben, zeigen aber, dass es nichtlineare Gleichungen gibt, die sich auf lineare Gleichungen zurückführen lassen.