Länge (Mathematik)
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- Differentialgeometrie
Die Länge ist in der Mathematik eine Eigenschaft, die Strecken, Wegen und Kurven zugeordnet werden kann. Die Länge einer Kurve wird auch als Bogenlänge oder Rektifikationslinie bezeichnet.
Längen von Strecken
Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A
und
Im dreidimensionalen Anschauungsraum (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \R^3 ) mit den jeweiligen Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A(a_1|a_2|a_3) und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B(b_1|b_2|b_3) gilt
Es gibt im Wesentlichen zwei Sichtweisen, wie man derartige Formeln verallgemeinern kann:
- Man interpretiert die Länge der Strecke
als die Länge des Vektors und definiert Längenmaße für Vektoren. Der entsprechende verallgemeinerte Längenbegriff für Vektoren heißt Norm. - Noch allgemeiner ist der Ansatz, statt Streckenlängen den Abstand der Endpunkte zu betrachten. Allgemeine Abstandsbegriffe heißen Metriken.
Längen von Wegen
Ein Weg ist eine stetige Abbildung
Wege in der Ebene und im Raum
Ein Weg in der Ebene bzw. im Raum ist durch zwei bzw. drei Koordinatenfunktionen gegeben:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t\mapsto(x(t),y(t))
bzw.
für .
Für stückweise stetig differenzierbare Wege ist die Länge des Weges durch das Integral über die Länge des Ableitungsvektors gegeben:
bzw.
Motivation
Der ebene Weg
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L = \sum \Delta s = \sum \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 } = \sum \sqrt{\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2 + \left(\frac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2} \Delta t
Geht man von der Konvergenz des Sachverhaltes aus und gibt das Ergebnis ohne exakte Grenzwertberechnung an, so ist die Länge
Physikalisch kann der Integrand auch als Betrag der Momentangeschwindigkeit und die Integrationsvariable als die Zeit aufgefasst werden. Dies motiviert die Definition der Länge eines Weges wohl am besten.
Beispiele
- Die Kreislinie mit Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r
für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 0\leq t\leq2\pi
- hat die Länge
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int\limits_0^{2\pi}\sqrt{r^2\sin^2t+r^2\cos^2t}\ \mathrm dt=\int\limits_0^{2\pi}r\,\mathrm dt=2\pi r.
- Ein Stück einer Schraubenlinie mit Radius
und Ganghöhe
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t\mapsto\left(r\cdot\cos t,\ r\cdot\sin t,\ \tfrac{h}{2\pi}\cdot t\right) \quad\mathrm{f\ddot ur}\; 0\leq t\leq2\pi
- hat die Länge
Spezialfälle
Länge eines Funktionsgraphen
Sei die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f:x \rightarrow f(x)
eine differenzierbare Funktion auf
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L (a,b)=\int\limits_{a}^{b} \sqrt{1+(f'(x))^2}\; \mathrm{d}x \qquad (*)
Parameterdarstellung
Ist die Kurve in Parameterdarstellung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x = x(t), y = y(t)
gegeben und führen wir oben den Parameter
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L (\alpha, \beta) = \int\limits_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\dot{x}^2+ \dot{y}^2}\; \mathrm{d}t
(Für L schreibt man oft auch s, was dann ohne Integral als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathrm{d} s zu sehen ist)
Beispiel: Der Umfang eines Kreises lässt sich mit Hilfe von
Wendet man die Formel
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L = 2 \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}\, \mathrm{d}x = 2r \int\limits_{-r}^{r} \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{r^2-x^2}}\,=2r \arcsin(1) - 2r \arcsin(-1) = 2 \pi r
Polarkoordinaten
Ist ein ebener Weg in Polarkoordinatendarstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r(\varphi) gegeben, also
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi\mapsto(r(\varphi)\cos\varphi,r(\varphi)\sin\varphi)
für
,
so erhält man aus der Produktregel
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\varphi}=r^\prime(\varphi)\cos\varphi-r(\varphi)\sin\varphi und
, somit also- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\varphi}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\varphi}\right)^2 = \left(r^\prime(\varphi)\right)^2+r^2(\varphi) .
Die Länge des Weges in Polarkoordinatendarstellung ist daher
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L=\int\limits_{\varphi_0}^{\varphi_1}\sqrt{\left(r^\prime(\varphi)\right)^2+r^2(\varphi)}\,\mathrm{d}\varphi .
Wege in riemannschen Mannigfaltigkeiten
Ist allgemein
Rektifizierbare Wege in beliebigen metrischen Räumen
Es sei
endlich ist. In diesem Falle nennt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L(\gamma) die Länge des Weges Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma .
Die Länge eines rektifizierbaren Weges ist also das Supremum der Längen aller Approximationen des Weges durch Streckenzüge. Für die oben betrachteten differenzierbaren Wege stimmen die beiden Definitionen der Länge überein.
Es gibt stetige Wege, die nicht rektifizierbar sind, beispielsweise die Koch-Kurve oder andere Fraktale, raumfüllende Kurven, sowie fast sicher die Pfade eines Wiener-Prozesses.
Das Wort rektifizieren oder Rektifikation bedeutet gerade machen, das heißt die Kurve (den Faden) an den Enden nehmen und auseinanderziehen, ausstrecken, sodass man eine Strecke erhält, deren Länge man direkt abmessen kann. Heutzutage taucht dieses Wort hauptsächlich noch im Begriff rektifizierbar auf.
Längen von Kurven
Definition der Länge einer Kurve
Die zu einem Weg
Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma_1: [a_1,b_1]\to \R^n
und
Parametrisierung einer Kurve nach der Weglänge
Wie bereits gesagt, gibt es für eine Kurve verschiedene Parametrisierungen. Eine besondere Parametrisierung ist dabei die Parametrisierung nach der Weglänge (oder Bogenlänge).
Ist
und
als Weglängenfunktion von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Gamma
. Diese Weglängenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s(t)
ist stetig und monoton wachsend, für
wird dabei als die Parametrisierung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma mit der Bogenlänge als Parameter bezeichnet.
Ist
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left\|\frac{\mathrm{d}\hat{\gamma}(s)}{\mathrm{d}s}\right\|=1
gilt.
Siehe auch
Literatur
- Wolfgang Ebeling, Institut für Algebraische Geometrie, Universität Hannover: Vorlesungsskript Analysis II. [1]