Im mathematischen Teilgebiet der Algebra bezeichnet die Länge ein Maß für die Größe eines Moduls.
Definition
Es sei $ M $ ein Modul über einem Ring $ A $. Die Länge von $ M $ ist das Supremum der Längen $ n $ von Ketten von Untermoduln der Form
- $ 0=N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq N_{2}\subsetneq \ldots \subsetneq N_{n}=M. $
Die Länge wird oft mit $ \ell _{A}(M) $ oder $ \ell (M) $ bezeichnet.
Eigenschaften
- Nur der Nullmodul hat Länge 0.
- Ein Modul ist genau dann einfach, wenn seine Länge 1 ist.
- Ein Modul hat genau dann endliche Länge, wenn er artinsch und noethersch ist.
- Die Länge ist additiv auf kurzen exakten Folgen: Ist
- $ 0\to M'\to M\to M''\to 0 $
- exakt, so ist $ \ell (M)=\ell (M')+\ell (M'') $; sind zwei dieser Zahlen endlich, so ist es auch die dritte.
- Eine Kompositionsreihe ist eine Kette von Untermodulen, die einfache Subquotienten besitzt. Die Länge jeder Kompositionsreihe ist gleich der Länge des Moduls.
Beispiele
- Vektorräume haben genau dann endliche Länge, wenn sie endlichdimensional sind; in diesem Fall ist ihre Länge gleich ihrer Dimension.
- Der $ \mathbb {Z} $-Modul $ \mathbb {Z} $ hat unendliche Länge: Für jede natürliche Zahl $ n $ ist
- $ 0\subset 2^{n}\mathbb {Z} \subset 2^{n-1}\mathbb {Z} \subset \ldots \subset \mathbb {Z} $
- eine Kette von Untermoduln der Länge $ n+1 $.
