Fockraum

Der Fockraum dient in der Quantenphysik, insbesondere in der Quantenfeldtheorie, zur mathematischen Beschreibung von Vielteilchensystemen mit variabler Teilchenanzahl. Die Basiszustände fester Teilchenzahl (Eigenzustände des Teilchenzahloperators) heißen Fock-Zustände. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Zweiter Quantisierung oder Besetzungszahldarstellung.

Der Fock-Raum ist nach dem russischen Physiker Wladimir Alexandrowitsch Fock benannt und ist seiner Struktur nach ein quantenmechanischer Hilbertraum. Je nachdem, ob es sich bei den Teilchen um Bosonen oder um Fermionen handelt, spricht man vom „bosonischen Fockraum“ oder vom „fermionischen Fockraum“.

Mathematisch gesehen ist der bosonische Fock-Raum $ {\mathcal {F}}_{+}({\mathcal {H}}) $ die symmetrische Tensoralgebra über einem Ein-Teilchen-Hilbertraum $ {\mathcal {H}} $, genauer gesagt deren Vervollständigung bezüglich des Skalarprodukts. Der fermionische Fockraum $ {\mathcal {F}}_{-}({\mathcal {H}}) $ ist mathematisch gesehen die Graßmann-Algebra über dem Ein-Teilchen-Hilbertraum, genauer gesagt deren Vervollständigung.

Das geeignet normierte symmetrisierte Tensorprodukt (im bosonischen Fall) bzw. das Keilprodukt (im fermionischen Fall) induzieren Abbildungen

$ a^{*}:{\mathcal {H}}\times {\mathcal {F}}_{\pm }({\mathcal {H}})\to {\mathcal {F}}_{\pm }({\mathcal {H}}),\quad (\psi ,\Phi )\mapsto a_{\psi }^{*}\Phi . $

Die Abbildungen $ a_{\psi }^{*}:{\mathcal {F}}_{\pm }({\mathcal {H}})\to {\mathcal {F}}_{\pm }({\mathcal {H}}) $ werden Erzeugungsoperatoren genannt. Die adjungierten Operatoren $ a_{\psi }:{\mathcal {F}}_{\pm }({\mathcal {H}})\to {\mathcal {F}}_{\pm }({\mathcal {H}}) $ dazu heißen Vernichtungsoperatoren. Für sie gelten die kanonischen (Anti-)Vertauschungsrelationen

$ a_{\psi }a_{\phi }\mp a_{\phi }a_{\psi }=0 $

$ a_{\psi }^{*}a_{\phi }^{*}\mp a_{\phi }^{*}a_{\psi }^{*}=0 $

$ a_{\psi }a_{\phi }^{*}\mp a_{\phi }^{*}a_{\psi }=\langle \psi ,\phi \rangle _{\mathcal {H}}\operatorname {id} _{{\mathcal {F}}_{\pm }({\mathcal {H}})} $

für $ \phi ,\psi \in {\mathcal {H}} $, wobei das obere Vorzeichen (Kommutator) im bosonischen Fall und das untere Vorzeichen (Antikommutator) im fermionischen Fall gilt.

Quantenmechanische Zustände über einem Fock-Raum (also Elemente von $ {\mathcal {F}}_{\pm }({\mathcal {H}}) $ vom Betrag 1 bzw. Dichteoperatoren über $ {\mathcal {F}}_{\pm }({\mathcal {H}}) $, je nach Sichtweise) heißen Fock-Zustände.