Clebsch-Gordan-Koeffizient

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten finden ihre Verwendung in der Kopplung quantenmechanischer Drehimpulse. Es handelt sich dabei um Entwicklungskoeffizienten, mit denen man aus der Basis der Einzeldrehimpulse in die Basis des Gesamtdrehimpulses übergeht. Sie werden zur Berechnung der Spin-Bahn-Kopplung sowie im Isospin-Formalismus verwendet.

Sie wurden nach Alfred Clebsch (1833–1872) und Paul Gordan (1837–1912) benannt.

Drehimpulskopplung

Siehe auch den Abschnitt "Addition von Drehimpulsen" im Artikel Drehimpulsoperator.

Man geht von zwei Drehimpulsen $ J_{1} $ und $ J_{2} $ aus, die jeweils die Quantenzahlen $ j_{1} $ und $ m_{1} $ (z-Komponente), bzw. $ j_{2} $ und $ m_{2} $ besitzen. Dabei nehmen $ m_{1} $ und $ m_{2} $ folgende Werte an: $ m_{1}=[-j_{1},...,j_{1}] $ und $ m_{2}=[-j_{2},...,j_{2}] $ und die Drehimpulse vertauschen untereinander: $ [J_{1},J_{2}]=0 $ (s. Quantenmechanischer Kommutator). Das bedeutet, dass man die einzelnen Drehimpulse unabhängig voneinander scharf messen kann. Jeder dieser Drehimpulse hat seinen eigenen Eigenraum, der durch die Eigenvektoren $ \left|j_{1},m_{1}\right\rangle $ bzw. $ \left|j_{2},m_{2}\right\rangle $ aufgespannt wird. In der Basis dieser Eigenvektoren $ \left|j_{1},m_{1}\right\rangle $ hat $ J_{1} $ eine einfache diagonale Gestalt; analoges gilt für $ J_{2} $.

Nun koppeln die einzelnen Drehimpulse $ J_{1} $ und $ J_{2} $ zu einem Gesamtdrehimpuls $ {\vec {J}}={\vec {J_{1}}}+{\vec {J_{2}}} $ (Addition der einzelnen Komponenten). Dieser Gesamtdrehimpuls besitzt nun die Quantenzahlen J und M, die folgende Werte annehmen können:

$ |j_{1}-j_{2}|\leq J\leq |j_{1}+j_{2}| $ und $ M=[-J,...,J] $ (in ganzzahligen Schritten).

Da der Gesamtdrehimpuls $ {\vec {J}} $ aus beiden Drehimpulsen $ J_{1} $ und $ J_{2} $ besteht, kann er im Produktraum der einzelnen Eigenzustände dargestellt werden:

$ \left|j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}\right\rangle =\left|j_{1},m_{1}\right\rangle \otimes \left|j_{2},m_{2}\right\rangle $,

wobei $ \otimes $ das Tensorprodukt bezeichnet.

Allerdings sind dies keine Eigenvektoren des Gesamtdrehimpulses $ {\vec {J}} $, so dass er in dieser Basis keine Diagonalgestalt besitzt.

Eigenbasis des Gesamtdrehimpulsoperators

Die Eigenvektoren von $ {\vec {J}} $ werden durch die Quantenzahlen $ J $, $ M $, $ j_{1} $ und $ j_{2} $ eindeutig festgelegt. Bezüglich der neuen Basis aus Eigenvektoren hat der Gesamtdrehimpuls $ {\vec {J}} $ wieder eine einfache Diagonalgestalt. Es gilt:

$ {\vec {J}}^{2}\left|J,M,j_{1},j_{2}\right\rangle =J(J+1)\hbar ^{2}\left|J,M,j_{1},j_{2}\right\rangle $

$ J_{z}\left|J,M,j_{1},j_{2}\right\rangle =M\hbar \left|J,M,j_{1},j_{2}\right\rangle $

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten geben nun den Übergang der Produktbasis $ \left|j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}\right\rangle $ in die Eigenbasis $ \left|J,M,j_{1},j_{2}\right\rangle $ an (unitäre Transformation):

$ \left|J,M,j_{1},j_{2}\right\rangle =\sum _{m_{1},m_{2}}\left|j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}\right\rangle \langle \ j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J,M,j_{1},j_{2}\rangle . $

Dabei sind $ \langle \ j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J,M,j_{1},j_{2}\rangle $ die Clebsch-Gordan-Koeffizienten.

Eigenschaften der Clebsch-Gordan-Koeffizienten

• Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten sind gleich Null, wenn eine der beiden Bedingungen $ |j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2} $ und $ M=m_{1}+m_{2} $ nicht erfüllt ist:

$ \langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J,M,j_{1},j_{2}\rangle \neq 0\quad \Rightarrow \quad |j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2}\ \ \wedge \ \ M=m_{1}+m_{2}. $

• Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten sind konventionsgemäß reell:

$ \langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J,M,j_{1},j_{2}\rangle \in \mathbb {R} . $

• Folgender Clebsch-Gordan-Koeffizient zu $ M=J $ ist konventionsgemäß positiv:

$ \langle j_{1},j_{1};j_{2},J-j_{1}|J,J,j_{1},j_{2}\rangle >0. $

• Der Clebsch-Gordan-Koeffizient zu $ M $ ist betragsmäßig gleich dem Clebsch-Gordan-Koeffizient zu $ -M $ gemäß

$ \langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J,M,j_{1},j_{2}\rangle =(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1},-m_{1};j_{2},-m_{2}|J,-M,j_{1},j_{2}\rangle . $

• Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten erfüllen die Orthogonalitätsrelation

$ \sum _{m_{1},m_{2}}\langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J,M,j_{1},j_{2}\rangle \langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J',M',j_{1},j_{2}\rangle =\delta _{JJ'}\delta _{MM'}. $

• Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten erfüllen die Orthogonalitätsrelation

$ \sum _{J,M}\langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J,M,j_{1},j_{2}\rangle \langle j_{1},m_{1}';j_{2},m_{2}'|J,M,j_{1},j_{2}\rangle =\delta _{m_{1}m_{1}'}\delta _{m_{2}m_{2}'}. $

Ermittlung der Clebsch-Gordan-Koeffizienten

Der Eigenzustand mit $ J=j_{1}+j_{2} $ und $ M=J $ lässt sich sofort in der Produktbasis angeben (nur ein Clebsch-Gordan-Koeffizient gleich 1, alle anderen Null):

$ |j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2},j_{1},j_{2}\rangle =|j_{1},j_{1};j_{2},j_{2}\rangle $

Durch Anwenden des Absteigeoperators $ J_{-}=J_{1\,-}+J_{2\,-} $ erhält man die Zustände $ |j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2}-1,j_{1},j_{2}\rangle $ bis $ |j_{1}+j_{2},-j_{1}-j_{2},j_{1},j_{2}\rangle $, also zu $ J=j_{1}+j_{2} $ alle Zustände mit $ M=-J,...,J=-j_{1}-j_{2},...,j_{1}+j_{2} $.

Den Zustand $ |j_{1}+j_{2}-1,j_{1}+j_{2}-1,j_{1},j_{2}\rangle $ erhält man aus der Forderung nach Orthogonalität zu $ |j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2}-1,j_{1},j_{2}\rangle $ und der Konvention, dass der Clebsch-Gordan-Koeffizient für $ M=J $ positiv ist.

Mit dem Absteigeoperator können zu $ J=j_{1}+j_{2}-1 $ wieder alle Zustände mit $ M=-j_{1}-j_{2}+1,...,j_{1}+j_{2}-1 $ erzeugt werden. Dieses Verfahren wird nun iterativ wiederholt bis $ J=|j_{1}-j_{2}| $.

SU(N)-Clebsch-Gordan-Koeffizienten

Die Drehimpulsalgebra entspricht im mathematischen Sinne der Algebra su(2), der Lie-Algebra der speziellen unitären Gruppe. In der Quantenmechanik lassen sich nicht nur Zustände koppeln, die Drehimpulsquantenzahlen bzw. su(2)-Quantenzahlen tragen, sondern auch Zustände mit su(N)-Quantenzahlen. Dies passiert z.B. in der Quantenchromodynamik. Um die dabei auftretenden Clebsch-Gordan-Koeffizienten zu berechnen, sind inzwischen Algorithmen bekannt^[1].

Weblinks

• Tabelle mit Beispielen zu bestimmten Werten für $ j_{1} $ und $ j_{2} $ (PDF, 70 kB)
• Webschnittstelle zur Auflistung der SU(N)-Clebsch-Gordan-Koeffizienten

Literatur

• Wachter, Hoeber: Repetitorium Theoretische Physik. Springer Verlag. ISBN 3-540-21457-7

Einzelnachweise