Clebsch-Gordan-Koeffizient

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten finden ihre Verwendung in der Kopplung quantenmechanischer Drehimpulse. Es handelt sich dabei um Entwicklungskoeffizienten, mit denen man aus der Basis der Einzeldrehimpulse in die Basis des Gesamtdrehimpulses übergeht. Sie werden zur Berechnung der Spin-Bahn-Kopplung sowie im Isospin-Formalismus verwendet.

Sie wurden nach Alfred Clebsch (1833–1872) und Paul Gordan (1837–1912) benannt.

Drehimpulskopplung

Siehe auch den Abschnitt "Addition von Drehimpulsen" im Artikel Drehimpulsoperator.

Man geht von zwei Drehimpulsen $J_{1}$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): J_2 aus, die jeweils die Quantenzahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): j_1 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_1 (z-Komponente), bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): j_2 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_2 besitzen. Dabei nehmen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_1 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_2 folgende Werte an: $m_{1}=[-j_{1},...,j_{1}]$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_2 = [-j_2, ..., j_2] und die Drehimpulse vertauschen untereinander: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [J_1,J_2] = 0 (s. Quantenmechanischer Kommutator). Das bedeutet, dass man die einzelnen Drehimpulse unabhängig voneinander scharf messen kann. Jeder dieser Drehimpulse hat seinen eigenen Eigenraum, der durch die Eigenvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| j_1, m_1 \right\rangle bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| j_2, m_2 \right\rangle aufgespannt wird. In der Basis dieser Eigenvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| j_1, m_1 \right\rangle hat Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): J_1 eine einfache diagonale Gestalt; analoges gilt für $J_{2}$ .

Nun koppeln die einzelnen Drehimpulse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): J_1 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): J_2 zu einem Gesamtdrehimpuls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{J} = \vec{J_1} + \vec{J_2} (Addition der einzelnen Komponenten). Dieser Gesamtdrehimpuls besitzt nun die Quantenzahlen J und M, die folgende Werte annehmen können:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | j_1 - j_2 | \le J \le | j_1 + j_2 | und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M = [-J, ... , J] (in ganzzahligen Schritten).

Da der Gesamtdrehimpuls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{J} aus beiden Drehimpulsen $J_{1}$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): J_2 besteht, kann er im Produktraum der einzelnen Eigenzustände dargestellt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| j_1, m_1; j_2, m_2 \right\rangle = \left| j_1, m_1 \right\rangle \otimes \left| j_2, m_2 \right\rangle ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \otimes das Tensorprodukt bezeichnet.

Allerdings sind dies keine Eigenvektoren des Gesamtdrehimpulses Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{J} , so dass er in dieser Basis keine Diagonalgestalt besitzt.

Eigenbasis des Gesamtdrehimpulsoperators

Die Eigenvektoren von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{J} werden durch die Quantenzahlen $$ J $$ , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): j_1 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): j_2 eindeutig festgelegt. Bezüglich der neuen Basis aus Eigenvektoren hat der Gesamtdrehimpuls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{J} wieder eine einfache Diagonalgestalt. Es gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{J}^2 \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle = J(J+1) \hbar^2 \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle

J_{z}\left|J,M,j_{1},j_{2}\right\rangle =M\hbar \left|J,M,j_{1},j_{2}\right\rangle

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten geben nun den Übergang der Produktbasis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| j_1, m_1; j_2, m_2 \right\rangle in die Eigenbasis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle an (unitäre Transformation):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle = \sum_{m_1, m_2} \left| j_1, m_1; j_2, m_2 \right\rangle \langle\ j_1, m_1; j_2, m_2 | J, M, j_1, j_2 \rangle.

Dabei sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle\ j_1, m_1; j_2, m_2 | J, M, j_1, j_2 \rangle die Clebsch-Gordan-Koeffizienten.

Eigenschaften der Clebsch-Gordan-Koeffizienten

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten sind gleich Null, wenn eine der beiden Bedingungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |j_{1}-j_{2}|\le J\le j_{1}+j_{2} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M=m_1+m_2 nicht erfüllt ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J,M,j_{1},j_{2}\rangle\neq0\quad\Rightarrow\quad|j_{1}-j_{2}|\le J\le j_{1}+j_{2}\ \ \wedge\ \ M=m_{1}+m_{2}.

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten sind konventionsgemäß reell:

\langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J,M,j_{1},j_{2}\rangle \in \mathbb {R} .

Folgender Clebsch-Gordan-Koeffizient zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M=J ist konventionsgemäß positiv:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle j_{1},j_{1};j_{2},J-j_{1}|J,J,j_{1},j_{2}\rangle>0.

Der Clebsch-Gordan-Koeffizient zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M ist betragsmäßig gleich dem Clebsch-Gordan-Koeffizient zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -M gemäß

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J,M,j_{1},j_{2}\rangle=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1},-m_{1};j_{2},-m_{2}|J,-M,j_{1},j_{2}\rangle.

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten erfüllen die Orthogonalitätsrelation

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sum_{m_{1},m_{2}}\langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J,M,j_{1},j_{2}\rangle\langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J',M',j_{1},j_{2}\rangle=\delta_{JJ'}\delta_{MM'}.

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten erfüllen die Orthogonalitätsrelation

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sum_{J,M}\langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J,M,j_{1},j_{2}\rangle\langle j_{1},m_{1}';j_{2},m_{2}'|J,M,j_{1},j_{2}\rangle=\delta_{m_{1}m_{1}'}\delta_{m_{2}m_{2}'}.

Ermittlung der Clebsch-Gordan-Koeffizienten

Der Eigenzustand mit $J=j_{1}+j_{2}$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M=J lässt sich sofort in der Produktbasis angeben (nur ein Clebsch-Gordan-Koeffizient gleich 1, alle anderen Null):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2},j_{1},j_{2}\rangle=|j_{1},j_{1};j_{2},j_{2}\rangle

Durch Anwenden des Absteigeoperators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): J_{-}=J_{1\, -}+J_{2\, -} erhält man die Zustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2}-1,j_{1},j_{2}\rangle bis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |j_{1}+j_{2},-j_{1}-j_{2},j_{1},j_{2}\rangle , also zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): J=j_1 + j_2 alle Zustände mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M=-J,...,J=-j_{1}-j_{2},...,j_{1}+j_{2} .

Den Zustand $|j_{1}+j_{2}-1,j_{1}+j_{2}-1,j_{1},j_{2}\rangle$ erhält man aus der Forderung nach Orthogonalität zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2}-1,j_{1},j_{2}\rangle und der Konvention, dass der Clebsch-Gordan-Koeffizient für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M=J positiv ist.

Mit dem Absteigeoperator können zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): J=j_{1}+j_{2}-1 wieder alle Zustände mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M=-j_{1}-j_{2}+1,...,j_{1}+j_{2}-1 erzeugt werden. Dieses Verfahren wird nun iterativ wiederholt bis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): J=|j_{1}-j_{2}| .

SU(N)-Clebsch-Gordan-Koeffizienten

Die Drehimpulsalgebra entspricht im mathematischen Sinne der Algebra su(2), der Lie-Algebra der speziellen unitären Gruppe. In der Quantenmechanik lassen sich nicht nur Zustände koppeln, die Drehimpulsquantenzahlen bzw. su(2)-Quantenzahlen tragen, sondern auch Zustände mit su(N)-Quantenzahlen. Dies passiert z.B. in der Quantenchromodynamik. Um die dabei auftretenden Clebsch-Gordan-Koeffizienten zu berechnen, sind inzwischen Algorithmen bekannt^[1].

Weblinks

Literatur

Wachter, Hoeber: Repetitorium Theoretische Physik. Springer Verlag. ISBN 3-540-21457-7

Einzelnachweise

↑ A. Alex, M. Kalus, A. Huckleberry, and J. von Delft: A numerical algorithm for the explicit calculation of SU(N) and SL(N,C) Clebsch-Gordan coefficients. In: J. Math. Phys.. 82, Februar 2011, S. 023507. doi:10.1063/1.3521562. Abgerufen am 13. April 2011.

[1] A. Alex, M. Kalus, A. Huckleberry, and J. von Delft: A numerical algorithm for the explicit calculation of SU(N) and SL(N,C) Clebsch-Gordan coefficients. In: J. Math. Phys.. 82, Februar 2011, S. 023507. doi:10.1063/1.3521562. Abgerufen am 13. April 2011.

[1]